加法函子与复形构造交换

命题： $F(C(\mathcal{A})) \cong C(F(\mathcal{A}))$

命题
依赖深度 layer 11
同调代数
复形与导出三角

prop.additive-complex-construction · 命题 · 加法函子 · 复形范畴 · 逐项作用

又称Exercise 7.27

陈述

加法函子 $F : \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ 逐项作用给出函子

C(F) : C(\mathcal{A}) \longrightarrow C(\mathcal{A}'), \qquad (K^{n}, d^{n}) \longmapsto \bigl(FK^{n},\ Fd^{n}\bigr),

即 $F(C(\mathcal{A})) \cong C(F(\mathcal{A}))$ ：先取复形范畴再作用 $F$ ，与先作用 $F$ 再取复形范畴一样。

说明

证明。 复形的数据只有「一族对象 + 一族态射 + $d \circ d = 0$ 」✓，全是加法范畴的语言：加法函子保零态射、保复合、保加法，于是 $F(d^{n+1}) \circ F(d^{n}) = F(d^{n+1} \circ d^{n}) = 0$ ✓， $C(F)$ 是函子（ $F$ 保持交换图）✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

上链复形 → 本页定义引用

命题说的就是复形范畴本身。
加法函子 → 本页定义引用

前提是 $F$ 加法。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.27

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