# 映射锥　`def.mapping-cone`
映射锥与位移（Mapping Cone）
layer 13 · 定义 · 复形与导出三角 · 同调代数
[在星图里打开](../#n=def.mapping-cone)　·　[节点索引](../index.md)

态射 $f : K \to L$ 的**映射锥**是复形

$$M(f)^{n} := K^{n+1} \oplus L^{n}, \qquad d^{n} := \begin{pmatrix} -d^{n+1} & 0 \\ f^{n} & d^{n} \end{pmatrix}$$
> 陈述续见 [nodes/def.mapping-cone.2.md](./def.mapping-cone.2.md)


## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`prop.triangle-rotation`](../nodes/prop.triangle-rotation.md) 三角的旋转与延拓
- 被 [`def.distinguished-triangle`](../nodes/def.distinguished-triangle.md) 导出三角 用

- …另有出边，续页见 [nodes/def.mapping-cone.4.md](./def.mapping-cone.4.md)

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/def.mapping-cone.3.md](./def.mapping-cone.3.md)

refs: Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1

## 说明
用处：给出短正合列 $0 \to L \to M(f) \to K[1] \to 0$（一般不分裂）。于是**每个态射都能嵌进一条「几乎正合」的序列**，这是三角范畴的出发点 —— 后面所有导出三角的定义都靠它。

引用：`def.mapping-cone`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)