反射子范畴里的极限

反射子范畴中的极限与余极限

prop.reflective-limits · 范畴论 · 反射 · 极限

又称反射子范畴里的极限·Exercise 1.64·Exercise 1.70

陈述

设 C′\mathcal{C}' 是 C\mathcal{C} 的反射子范畴，反射记为 F:C→C′F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'。若 C′\mathcal{C}' 中的图 D′D' 在 C\mathcal{C} 中有极限（余极限），则它在 C′\mathcal{C}' 中也有：

说明

证明。 设嵌入 i:C′↪Ci : \mathcal{C}' \hookrightarrow \mathcal{C}，反射 F:C→C′F : \mathcal{C}\to\mathcal{C}'，F⊣iF \dashv i（即 ii 是右伴随）。

Hom⁡C′(F(colim⁡CD′),C′)  ≅  Hom⁡C(colim⁡CD′,iC′)  ≅  lim⁡jHom⁡C(Dj′,iC′)  ≅  lim⁡jHom⁡C′(Dj′,C′),\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}'}\bigl(F(\operatorname{colim}_{\mathcal{C}}D'), C'\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(\operatorname{colim}_{\mathcal{C}}D', iC'\bigr) \;\cong\; \lim_{j}\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(D'_{j}, iC'\bigr) \;\cong\; \lim_{j}\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}'}\bigl(D'_{j}, C'\bigr),

对 C′C' 自然 —— 这正是「F(colim⁡CD′)F(\operatorname{colim}_{\mathcal{C}}D') 是 D′D' 在 C′\mathcal{C}' 里的余极限」的泛性质 ✓。

Hom⁡C′(C′,lim⁡CD′)  ≅  lim⁡jHom⁡C(iC′,Dj′)  ≅  lim⁡jHom⁡C′(C′,Dj′)\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}'}\bigl(C', \operatorname{lim}_{\mathcal{C}}D'\bigr) \;\cong\; \operatorname{lim}_{j}\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(iC', D'_{j}\bigr) \;\cong\; \operatorname{lim}_{j}\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}'}\bigl(C', D'_{j}\bigr)

（第二个同构用了 ii 全忠实），故 lim⁡CD′\lim_{\mathcal{C}}D' 已经落在 C′\mathcal{C}' 里、且就是 C′\mathcal{C}' 中的极限 ✓。 结论：反射子范畴对极限封闭，余极限要过一遍反射。∎

也就是说，反射子范畴对极限封闭。这条让「先在大的范畴里算，再看能不能落回去」成为标准操作：余极限要回炉过一次反射，极限则不用。

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

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