群对象与阿贝尔群对象

说明

记 $\mathrm{Gr}(\mathcal{C})$、$\mathrm{Ab}(\mathcal{C})$ 为 $\mathcal{C}$ 中群对象、阿贝尔群对象连同保结构态射构成的范畴。

⭐ 同一套定义，换范畴就换出一整个世界：

• $\mathrm{Ab}(\mathbf{Set}) = \mathbf{Ab}$ —— 就是通常的阿贝尔群；
• $\mathrm{Ab}(\mathbf{Top})$ = 拓扑阿贝尔群（群运算连续）；
• $\mathrm{Ab}(\mathbf{Manifold})$ = 阿贝尔 Lie 群；
• $\mathrm{Ab}(\mathrm{Cond}) = \mathrm{CondAb}$ —— 凝聚态阿贝尔群；
• $\mathrm{Ab}(\widehat{\mathcal{C}})$ = 预层范畴里的阿贝尔群对象。

⭐⭐ 所以「凝聚态阿贝尔群 = 凝聚态集范畴里的阿贝尔群对象」这句话不是新定义，只是这条定义代进 $\mathcal{C} = \mathrm{Cond}$。 整个星图里「集合 + 运算 + 公理 $o$ 群 $o$ 阿贝尔群」那条线，到这一层就和凝聚态那条线接上了。

⚠️ 群对象不要求范畴有极限（只用有限积），所以它比「在拓扑斯里做代数」适用范围更广。