Ab(C) 的例子

$\mathrm{Ab}(-)$ 在几个范畴上的样子

例
依赖深度 layer 15
范畴论
抽象代数
范畴里的代数结构

ex.ab-of-categories · 范畴论 · 代数结构 · 例子 · 阿贝尔群对象

又称Ab(Top)·Ab(Set)·拓扑阿贝尔群怎么来的·群对象的例子

陈述

$\mathrm{Ab}(\mathbf{Set}) = \mathbf{Ab}$ ；
$\mathrm{Ab}(\mathbf{Top})$ = 拓扑阿贝尔群；
$\mathrm{Ab}(\mathbf{Manifold})$ = 阿贝尔 Lie 群；
$\mathrm{Ab}(\mathbf{Grp}) = \mathbf{Ab}$ （群对象之间的运算是逐点的）；
$\mathrm{Ab}(\mathrm{Cond}) = \mathrm{CondAb}$ ；
$\mathrm{Ab}(\widehat{\mathcal{C}})$ = 预层范畴里的阿贝尔群对象 $\simeq$ 值在 $\mathbf{Ab}$ 的预层。

说明

⭐ 这张表最有用的一点是反着读：想研究拓扑阿贝尔群，就把 $\mathcal{C}$ 取成 $\mathbf{Top}$ ；想研究凝聚态阿贝尔群，就把 $\mathcal{C}$ 取成 $\mathrm{Cond}$ 。同一个定义、同一套定理（核、余核、正合列……）直接搬。

⚠️ $\mathrm{Ab}(\mathbf{Grp}) = \mathbf{Ab}$ 这条最容易让人愣一下：群范畴里的群对象恰好是阿贝尔群（Eckmann–Hilton 论证）—— 「群」这个结构加在「群」这个范畴上时，会强制交换性。

谁指向它（入边）

定义引用 1

群对象与阿贝尔群对象 → 本页定义引用

例子说的都是 $\mathrm{Ab}(\mathcal{C})$ 这条构造。

参考

Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, III.6

常见问法 2 条

什么是群对象也看群对象与阿贝尔群对象、幺半群对象
拓扑阿贝尔群是怎么定义的也看群对象与阿贝尔群对象、拓扑阿贝尔群

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