双代数的例子

命题： $k[t]$ 与 $k[t,1/t]$ 都是双代数

命题
依赖深度 layer 14
范畴论
范畴里的代数结构

prop.bialgebra-examples · 命题 · 双代数 · 幺半群对象 · 余乘

又称Exercise 1.50

陈述

双代数 = $k$ -代数范畴的反范畴里的幺半群。 $k[t]$ 带 $t \mapsto t \otimes 1 + 1 \otimes t$ 、 $k[t, 1/t]$ 带 $t \mapsto t \otimes t$ 都是双代数。

说明

证明。 把「反范畴里的幺半群」翻译回 $k$ -代数，就是「余乘 $\Delta : A \to A \otimes A$ 是代数同态」✓；上面两个 $\Delta$ 都保乘法 ✓（ $k[t,1/t]$ 里 $t$ 可逆，所以只有 $t \mapsto t \otimes t$ 这一种选择）✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

幺半群对象 → 本页定义引用

双代数就是反范畴里的幺半群。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.50

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