保有限积的函子作用于代数对象

命题： $F$ 保有限积 $\implies F$ 诱导 $\mathrm{Mon}(\mathcal{C}) \to \mathrm{Mon}(\mathcal{D})$

命题
依赖深度 layer 15
范畴论
范畴里的代数结构

prop.functor-preserves-monoid-objects · 命题 · 幺半群对象 · 群对象 · 环对象 · 保有限积

又称Exercise 1.53

陈述

若 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 保有限积（含终对象），则它把

\text{幺半群对象} \longmapsto \text{幺半群对象}, \qquad \text{群对象} \longmapsto \text{群对象}, \qquad \text{环对象} \longmapsto \text{环对象},

以及 $G$ -对象、 $A$ -模、 $k$ -代数同理 —— 于是它诱导出 $\mathrm{Mon}(\mathcal{C}) \to \mathrm{Mon}(\mathcal{D})$ 等一串函子。

说明

证明。 一个群对象就是「 $m : G \times G \to G$ 、 $e : \mathbf{1} \to G$ 、 $i : G \to G$ 加上若干交换图」✓。 $F$ 保有限积（特别地保 $G \times G$ 与 $\mathbf{1}$ ），把这些态射与交换图逐条搬过去，得到的仍是群对象 ✓。环对象、模、 $G$ -对象也一样（它们的数据都只用到有限积）✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

幺半群对象 → 本页定义引用

被搬运的对象就是幺半群对象。
群对象与阿贝尔群对象 → 本页定义引用

群对象同理。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.53

同一星团的其他概念 10 个

继续

在星图里打开「保有限积的函子作用于代数对象」　·　全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　读图指南与记号表