幺半群对象

幺半群对象（Monoid Object）

def.monoid-object · 范畴论 · 代数结构 · 幺半群对象 · 笛卡尔范畴

又称幺半群对象·monoid object·Mon(C)·笛卡尔范畴·cartesian category·Definition 1.4.10·Def 1.4.10·Exercise 1.51

陈述

设 C\mathcal{C} 是有有限积的范畴（也叫笛卡尔范畴），11 是它的终对象。C\mathcal{C} 中的幺半群对象是一个对象 GG 连同一个乘法

μ:G×G⟶G\mu : G \times G \longrightarrow G

与一个单位 ε:1→G\varepsilon : 1 \to G，使下面两个方块交换：

G×G×G→  μ×id  G×Gid×μ↓↓μG×G→  μ  GG→  ε×id  G×Gid×ε↓↓μG×G→  μ  G\begin{array}{ccc} G\times G\times G & \xrightarrow{\;\mu \times \mathrm{id}\;} & G \times G \\[2pt] {\scriptstyle \mathrm{id}\times \mu}\big\downarrow & & \big\downarrow{\scriptstyle \mu} \\[2pt] G \times G & \xrightarrow[\;\mu\;]{} & G \end{array} \qquad \begin{array}{ccc} G & \xrightarrow{\;\varepsilon \times \mathrm{id}\;} & G \times G \\[2pt] {\scriptstyle \mathrm{id}\times \varepsilon}\big\downarrow & & \big\downarrow{\scriptstyle \mu} \\[2pt] G \times G & \xrightarrow[\;\mu\;]{} & G \end{array}

说明

⭐ 格式一模一样：还是「对象 + 态射 + 公理」，只是公理从等式换成了交换图 —— 「a(bc)=(ab)ca(bc) = (ab)c」变成了「两个复合态射相等」。集合上的幺半群就是这个定义在 C=Set\mathcal{C} = \mathbf{Set} 时的样子。

为什么要求有限积：乘法要拿「两个自变量」说话，而范畴里「两个」就是积 G×GG \times G；单位要拿「没有自变量」说话，那就是终对象 1→G1 \to G。

态射：两个幺半群对象之间的态射 f:G→G′f : G \to G' 是使 f∘μ=μ′∘(f×f)f \circ \mu = \mu' \circ (f\times f) 且 f∘ε=ε′f \circ \varepsilon = \varepsilon' 的态射。全体构成范畴 Mon(C)\mathrm{Mon}(\mathcal{C})。

⚠️ 名字上容易和「C\mathcal{C} 上的预层 / 群层」混：这里说的是范畴内部的一个对象带结构（「内部」的意思），不是值在群里的函子。

它指向谁（出边）

定义引用 7

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

常见问法 1 条

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