# K-有界正合在完备化下不变　`lem.k-bounded-completion`
$K$-有界正合 $\iff$ 完备化后 $K$-有界正合
layer 16 · 引理 · 凝聚态上同调 · 凝聚态数学+同调代数
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设 $M^{\bullet}$ 是半范数阿贝尔群复形，$\widehat{M}^{\bullet}$ 是它的 Banach 化（Hausdorff 化后再完备化）。则 $M^{\bullet}$ 在 $M^{n}$ 处 $K$-有界正合 $\iff$ $\widehat{M}^{\bullet}$ 在 $\widehat{M}^{n}$ 处 $K$-有界正合。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- [`def.banach-ab-group`](../nodes/def.banach-ab-group.md) Banach 阿贝尔群：用到了定义 Banach 阿贝尔群　[proofs/def-dep.kbcomp-banach.md](../proofs/def-dep.kbcomp-banach.md)

- …另有入边，续页见 [nodes/lem.k-bounded-completion.2.md](./lem.k-bounded-completion.2.md)

refs: Le Stum, Lemma 8.2.2

> 说明见 `notes/lem.k-bounded-completion.md`

引用：`lem.k-bounded-completion`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)