# 终对象 / 始对象　`def.final-initial`
终对象与始对象（Terminal / Initial Object）
layer 12 · 定义 · 图与极限 · 范畴论
[在星图里打开](../#n=def.final-initial)　·　[节点索引](../index.md)

$\mathcal{C}$ 的**终对象** $\mathbf{1}_{\mathcal{C}}$ 是空图 $\emptyset \to \mathcal{C}$ 的极限，**始对象** $\mathbf{0}_{\mathcal{C}}$ 是它的余极限。用同构集来刻画：

$$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, \mathbf{1}_{\mathcal{C}}) = \{*\}, \qquad \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbf{0}_{\mathcal{C}}, X) = \{*\}$$

（对每个对象 $X$ 都恰好只有一个态射）。二者同时存在且同构时，叫**零对象**。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/def.final-initial.2.md](./def.final-initial.2.md)

## 它能推出什么 / 谁在用它
- …另有出边，续页见 [nodes/def.final-initial.3.md](./def.final-initial.3.md)

refs: Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3

> 说明见 `notes/def.final-initial.md`

引用：`def.final-initial`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)