幂集公理

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 自然数集存在推出
  无穷公理 + 幂集公理 + 分离公理模式 $\implies \omega$ 存在
  1. 由无穷公理取一个归纳集 $I$。称 $J \subseteq I$ 是归纳的，若 $\emptyset \in J$ 且 $\forall x (x \in J \to x \cup \{x\} \in J)$。
  2. 由幂集公理，$\mathcal{P}(I)$ 是集合；再用分离公理模式取

  $$S = \{ J \in \mathcal{P}(I) : J\text{ 是归纳集} \}$$

  $S$ 非空（$I \in S$）。

  1. 再对 $\mathcal{P}(I)$ 用一次分离公理模式，令

  $$\omega = \{ x \in I : \forall J ( J \in S \to x \in J ) \}$$

  即 $\omega$ 是所有归纳子集的交。

  1. $\omega$ 是归纳集：$\emptyset$ 属于每个 $J \in S$，故 $\emptyset \in \omega$；若 $x \in \omega$，则 $x$ 属于每个 $J \in S$，从而 $x \cup \{x\}$ 属于每个 $J \in S$，故 $x \cup \{x\} \in \omega$。
  2. $\omega$ 含于一切归纳集：若 $K$ 是归纳集，则 $K \cap I$ 也是归纳集且 $K \cap I \in S$，由 $\omega$ 的定义 $\omega \subseteq K \cap I \subseteq K$。

  故 $\omega$ 是最小归纳集，即自然数集。∎

• 本页 ⟹ 笛卡尔积存在推出
  幂集 + 配对 + 并集 + 分离公理模式 $\implies A \times B$ 存在

  任给 $A$、$B$。

  1. 由配对公理与并集公理，$A \cup B$ 是集合。
  2. 对任意 $a \in A$、$b \in B$，Kuratowski 有序对 $(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$。其中 $\{a\} \subseteq A \cup B$，$\{a, b\} \subseteq A \cup B$，所以 $\{a\}, \{a, b\} \in \mathcal{P}(A \cup B)$，进而 $(a, b) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$。
  3. 由幂集公理，$\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$ 是集合。用分离公理模式取

  $$C = \{ z \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)) : \exists a \in A, \exists b \in B, z = (a, b) \}$$

  则 $C$ 恰是 $A \times B$：一方面每个 (a, b) 都在 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$ 中，另一方面 $z$ 是不在 $A$、$B$ 中任意点处取到的有序对时不会被选进来。∎

  这个证明展示了一个典型套路：先用幂集「造一个足够大的容器」，再用分离公理模式「筛出真正想要的东西」。

定义引用 2

• 有序对 用到 本页定义引用

  同一个构造也要用到幂集公理：$\{a, b\}$ 的幂集里才装得下 $\{\{a\}, \{a, b\}\}$。

• 幂集 𝒫(X) 用到 本页定义引用

  幂集公理才是「$\mathcal{P}(X)$ 是一个集合」的依据 —— 陈述里那句「由幂集公理，$\mathcal{P}(X)$ 确实是集合」说的就是它。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 子集 → 本页定义引用

  幂集公理的陈述里直接出现了子集符号：$x \in \mathcal{P}(A) \iff x \subseteq A$。