分离公理模式

取任意集合 $a$（一阶逻辑的论域非空，故这样的 $a$ 存在；在 ZF 中也可由无穷公理提供）。

取公式 $\varphi (x) :\equiv ( x \ne x )$，它是矛盾式。分离公理模式给出集合

对任意 $x$，$x \in B \leftrightarrow ( x \in a \wedge x \ne x )$ 恒为假，故 $B$ 不含任何元素。 由外延公理，这样的 $B$ 唯一，记作 $\emptyset$。∎

1. 由无穷公理取一个归纳集 $I$。称 $J \subseteq I$ 是归纳的，若 $\emptyset \in J$ 且 $\forall x (x \in J \to x \cup \{x\} \in J)$。
2. 由幂集公理，$\mathcal{P}(I)$ 是集合；再用分离公理模式取

$S$ 非空（$I \in S$）。

1. 再对 $\mathcal{P}(I)$ 用一次分离公理模式，令

即 $\omega$ 是所有归纳子集的交。

1. $\omega$ 是归纳集：$\emptyset$ 属于每个 $J \in S$，故 $\emptyset \in \omega$；若 $x \in \omega$，则 $x$ 属于每个 $J \in S$，从而 $x \cup \{x\}$ 属于每个 $J \in S$，故 $x \cup \{x\} \in \omega$。
2. $\omega$ 含于一切归纳集：若 $K$ 是归纳集，则 $K \cap I$ 也是归纳集且 $K \cap I \in S$，由 $\omega$ 的定义 $\omega \subseteq K \cap I \subseteq K$。

故 $\omega$ 是最小归纳集，即自然数集。∎

任给 $A$、$B$。

1. 由配对公理与并集公理，$A \cup B$ 是集合。
2. 对任意 $a \in A$、$b \in B$，Kuratowski 有序对 $(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$。其中 $\{a\} \subseteq A \cup B$，$\{a, b\} \subseteq A \cup B$，所以 $\{a\}, \{a, b\} \in \mathcal{P}(A \cup B)$，进而 $(a, b) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$。
3. 由幂集公理，$\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$ 是集合。用分离公理模式取

则 $C$ 恰是 $A \times B$：一方面每个 (a, b) 都在 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$ 中，另一方面 $z$ 是不在 $A$、$B$ 中任意点处取到的有序对时不会被选进来。∎

设 $\varphi (x, p)$ 是不含 $B$ 的公式，$A$ 是任意集合。取公式

对任意 $x$，至多只有一个 $y$ 使 $\psi (x, y, p)$ 成立（因为 $x = y$ 已经确定了 $y$）。于是替换公理模式给出一个集合

这正是分离公理模式所要的 $B$（外延公理保证唯一）。∎