外延公理

外延公理（Axiom of Extensionality）

ax.ext · ZFC · 集合相等

又称外延·extensionality·集合相等

陈述

集合由它的元素唯一决定：

\forall A \forall B [ \forall x ( x \in A \leftrightarrow x \in B ) \to A = B ]

反方向（ $A = B \to$ 元素完全相同）由等词逻辑自动成立，所以常写成 $\leftrightarrow$ 。这条公理保证了「用条件刻画集合」时结果是唯一的，因此 $\{ x \in A : \varphi (x) \}$ 这种写法不会产生歧义。

它是「集合」这个名字的全部含义：一个集合 $=$ 一个外延（一堆元素），与「怎么描述它」无关。

去掉它，就可以有元素完全相同却彼此不同的对象（例如带原子 ur-element 的集合论）。

子集用到本页定义引用

子集最常用的那条性质—— $A = B \iff A \subseteq B \wedge B \subseteq A$ （两边互包）——正是外延公理的直接推论。
空集存在用到本页定义引用

空集的存在由分离公理模式给出，但「这样的集合至多一个」靠的是外延公理——所以 $\emptyset$ 这个记号才有意义。