# 乘积测度由截口给出　`thm.product-measure-sections`
定理：$\mu \times \nu(E) = \int \nu(E_{x}) d\mu(x) = \int \mu(E^{y}) d\nu(y)$
layer 18 · 定理 · 乘积测度与 Fubini · 分析学
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设 $(X, \mathcal{M}, \mu )$、$(Y, \mathcal{N}, \nu )$ 都是 **$\sigma$有限**的，$E \in \mathcal{M} \otimes  \mathcal{N}$。则

- $x \mapsto \nu(E_x)$ 在 $X$ 上可测；
- $y \mapsto \mu(E^y)$ 在 $Y$ 上可测；

并且
> 陈述续见 [nodes/thm.product-measure-sections.2.md](./thm.product-measure-sections.2.md)


## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`thm.fubini-tonelli`](../nodes/thm.fubini-tonelli.md) Fubini–Tonelli

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/thm.product-measure-sections.3.md](./thm.product-measure-sections.3.md)

refs: Folland, Real Analysis, Theorem 2.36

> 说明见 `notes/thm.product-measure-sections.md`

引用：`thm.product-measure-sections`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)