# 直和就是积　`prop.biproduct-is-product`
命题：预加性范畴里直和 $\iff$ 积 $\iff$ 余积
layer 17 · 命题 · 加法与阿贝尔范畴 · 范畴论
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设 $\mathcal{C}$ 是预加性范畴，$M, M_{1}, M_{2} \in \mathcal{C}$。

$$M \text{ 是} M_{1}, M_{2} \text{ 的直和} \iff (M, p_{1}, p_{2}) \text{ 是} M_{1}, M_{2} \text{ 的积} \iff (M, i_{1}, i_{2}) \text{ 是余积},$$

其中「直和」指存在 $p_{k} : M \to M_{k}$、$i_{k} : M_{k} \to M$ 使
> 陈述续见 [nodes/prop.biproduct-is-product.2.md](./prop.biproduct-is-product.2.md)


## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/prop.biproduct-is-product.3.md](./prop.biproduct-is-product.3.md)

refs: Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1

> 说明见 `notes/prop.biproduct-is-product.md`

引用：`prop.biproduct-is-product`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)