每个向量空间有基

谁指向它（入边）

推出 1

• 佐恩引理 ⟹ 本页推出
  佐恩引理 $\implies$ 每个向量空间有基

  设 $V \ne 0$ 是域 $K$ 上的向量空间，并给定线性无关集 $S_{0} \subseteq V$。令

  $$\mathcal{A} = \{ S \subseteq V : S \supseteq S_0\text{ 且} S\text{ 线性无关} \}$$

  按包含关系 $\subseteq$ 排序。

  1. $\mathcal{A} \ne \emptyset$：$S_{0} \in \mathcal{A}$。
  2. 每个链有上界：设 $\mathcal{D} \subseteq \mathcal{A}$ 是 $\subseteq$链，令 $U = \bigcup \mathcal{D}$。要证 $U$ 线性无关，只需证 $U$ 的每个有限子集线性无关：取有限子集 $\{v_{1}$ …$v_{n}\} \subseteq U$，每个 $v_{i}$ 属于某个 $D_{i} \in \mathcal{D}$；$\mathcal{D}$ 是链且只有有限多个 $D_{i}$，故其中有一个最大的 $D$ 包含全部 $v_{i}$，即 $\{v_{1}$ …$v_{n}\} \subseteq D$。而 $D$ 线性无关，故它的子集 $\{v_{1}$ …$v_{n}\}$ 也线性无关。因此 $U$ 线性无关，$U \in \mathcal{A}$，它是 $\mathcal{D}$ 的上界。
  3. 由佐恩引理，$\mathcal{A}$ 有极大元 $B$。$B$ 是含 $S_{0}$ 的线性无关集，且在「含 $S_{0}$ 的线性无关集」中极大。
  4. $B$ 生成 $V$：若存在 $v \in V$ 不在 $B$ 的张成空间 span(B) 中，则 $B \cup \{v\}$ 仍线性无关（否则 $v$ 可写成 $B$ 中有限多个向量的线性组合，与 $v \notin \operatorname{span}(B)$ 矛盾），且严格大于 $B$，与 $B$ 的极大性矛盾。故 $\operatorname{span}(B) = V$，即 $B$ 是 $V$ 的基。取 $S_{0} = \emptyset$ 得「$V$ 有基」。∎

  同样的套路可以证明：每个环有极大理想、每个域上每个模有极大无关组、每个偏序集有极大反链。

定义引用 1

• 向量空间的基 → 本页定义引用

  「每个向量空间有基」中的「基」由线性无关与生成两个概念定义。