# 每个向量空间有基　`thm.vsbasis`
每个向量空间都有基（Zorn 引理的经典应用）
layer 10 · 定理 · 向量空间的基 · 抽象代数
[在星图里打开](../#n=thm.vsbasis)　·　[节点索引](../index.md)

设 $V$ 是域 $K$ 上的向量空间。则

$V$ 有基；
- 更精确地：$V$ 的任一线性无关子集都能扩充成 $V$ 的一个基，任一生成集都含有一个基。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- [`lem.zorn`](../nodes/lem.zorn.md) 佐恩引理：佐恩引理 $\implies$ 每个向量空间有基　[proofs/imp.zorn-to-basis.md](../proofs/imp.zorn-to-basis.md)

refs: Lang, Linear Algebra；Brunner, The Axiom of Choice in Topology

- …另有入边，续页见 [nodes/thm.vsbasis.2.md](./thm.vsbasis.2.md)

## 说明
在 ZF 中此命题与 AC 等价——去掉 AC，可以构造出没有基的向量空间。

这是「序理论的结论在代数里落地」的标准范例，也是本星图上跨板块连线的一个实例。

引用：`thm.vsbasis`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)