常见问法

什么时候积分和极限能换顺序

单调收敛定理、Fatou 引理、控制收敛定理、Fubini–Tonelli

积分和极限交换的条件

控制收敛定理、单调收敛定理、Fatou 引理

控制收敛要什么条件

控制收敛定理、可积 / L¹、L⁺

能不能逐项积分

逐项积分、L¹ 的逐项积分、单调收敛定理

积分和求和换顺序

逐项积分、L¹ 的逐项积分

什么时候能在积分号下求导

交换极限/导数与积分、控制收敛定理

重积分能不能交换次序

Fubini–Tonelli、乘积测度、完备情形的 F–T

Fubini 定理需要什么条件

Fubini–Tonelli、乘积测度

积分为零是什么意思

积分为零 ⟺ 几乎处处为零、几乎处处、零集与完备

有哪几种收敛

五种收敛、四个标准反例

几乎处处收敛和依测度收敛有什么关系

五种收敛、四个标准反例、Egorov 定理

收敛和一致收敛差在哪

五种收敛、Egorov 定理、Lusin 定理

Egorov 定理说的是什么

Egorov 定理、五种收敛

怎么从一个外测度造出测度

外测度、Carathéodory 定理、μ*-可测集

Lebesgue 测度是怎么造出来的

Lebesgue–Stieltjes 测度、F ↔ Borel 测度、Carathéodory 定理

σ-代数是怎么生成的

生成的 σ-代数、Borel σ-代数、σ-代数

为什么要完备化

完备化定理、零集与完备、完备性 ⟺ 不破坏可测性

零测集是什么

零集与完备、几乎处处

怎么判断一个函数可测

可测函数、可测性的两条判定准则

可测函数长什么样

可测函数、简单函数逼近、简单函数

简单函数是什么

简单函数、简单函数的积分

连续函数一定可测吗

连续 ⟹ Borel 可测、可测函数

一个测度相对于另一个测度的密度

RN 导数与 Lebesgue 分解、Lebesgue–Radon–Nikodym 定理

什么时候一个测度有密度

Lebesgue–Radon–Nikodym 定理、绝对连续、RN 导数与 Lebesgue 分解

符号测度怎么拆成两个正测度

Hahn 分解定理、Jordan 分解定理、符号测度

绝对连续和奇异是什么意思

绝对连续、相互奇异、Lebesgue–Radon–Nikodym 定理

什么样的函数几乎处处可导

单调函数几乎处处可导、有界变差 BV、Lebesgue 微分定理

微积分基本定理什么时候成立

微积分基本定理（Lebesgue 版）、绝对连续函数、BV 的 Jordan 分解

极大函数是什么

极大函数、极大定理

Lebesgue 微分定理说的是什么

Lebesgue 微分定理、Lebesgue 集、平均算子 Aᵣ

有界变差函数有什么性质

有界变差 BV、BV 的 Jordan 分解、BV 函数的正则性

Lp 空间是不是完备的

L^p 是 Banach 空间、L^p 范数

Lp 的对偶空间是什么

(L^p)* ≅ L^q、共轭指数、对偶配对 φ_g

Hölder 不等式怎么用

Hölder 不等式、共轭指数、Young 不等式

Lp 之间能不能互相包含

有限测度时方向反过来、L^p ∩ L^r ⊆ L^q、L^q 落在 L^p + L^r 里

两个集合什么时候一样大

等势、基数 |A|、Schröder–Bernstein 定理

怎么比较两个无穷的大小

基数 |A|、等势、Cantor 定理

实数为什么比自然数多

Cantor 定理、ℝ 不可数、可数与不可数

不用选择公理能不能比较基数

基数可比定理、选择公理

实数是怎么造出来的

Cauchy 列与零列、实数系 ℝ、ℝ 是完备有序域

为什么实数有确界原理

ℝ 是完备有序域、Cauchy 列与零列、界与确界

实数系为什么是完备的

ℝ 是完备有序域、Cauchy 列与零列、阿基米德性质

自然数是怎么造出来的

自然数集存在、无穷公理、归纳原理与递推定义

整数和有理数怎么来

整数 ℤ、有理数 ℚ、商集与等价类

选择公理等价于什么

选择公理、良序定理、佐恩引理、Hausdorff 极大原理、Tukey 引理

怎么用佐恩引理

佐恩引理、链、界与确界、有限特征

上确界是什么

界与确界、ℝ 是完备有序域

什么是序数

序数、超限递归、序数可比

超限归纳怎么做

超限递归、序数、良序集

紧集是什么

紧、紧的三个等价刻画、列紧

紧和列紧等价吗

紧的三个等价刻画、列紧、紧

完备是什么意思

完备、距离空间

两个空间什么时候算同一个

同胚、序同构、单射 / 满射 / 双射

连续映射怎么定义

连续映射、拓扑空间与开集、闭集与闭包

向量空间为什么一定有基

每个向量空间有基、向量空间的基、佐恩引理

域和有序域是什么

域、有序域

范畴是什么

范畴、图、函子

函子是什么

函子、范畴、自然变换

自然变换是什么

自然变换、函子、米田引理

什么是全忠实函子

忠实 / 满 / 全忠实、范畴等价、米田嵌入

什么时候两个范畴算等价

范畴等价、忠实 / 满 / 全忠实、本质满

什么是交换图

图与交换图、锥、极限

为什么交换图会交换

图与交换图

图不交换怎么办

图与交换图、等化子 / 余等化子

极限是什么

极限、锥、图与交换图

什么是泛性质

极限、元素范畴、表示函子

积和余积是什么

积 / 余积、极限、笛卡尔积存在

拉回和推出是什么

纤维积 / 纤维余积、极限、子对象

等化子和核是什么

等化子 / 余等化子、单态射 / 满态射 / 同构、同调的短正合列

单态射和满态射是什么

单态射 / 满态射 / 同构、子对象、层中单满即同构

什么是终对象和始对象

终对象 / 始对象、极限、元素范畴

米田引理说的是什么

米田引理、表示函子、米田嵌入

什么是可表示函子

表示函子、米田引理、表示的两个定义等价

什么是预层

预层、预层范畴、层

为什么预层都是可表示预层的余极限

稠密性定理、米田引理、切片范畴

什么是伴随函子

伴随函子、单位与余单位、右伴随保极限

单位余单位是什么

单位与余单位、伴随函子、全忠实与单位

为什么右伴随保极限

右伴随保极限、伴随函子、极限即伴随

什么时候一个函子有伴随

右伴随存在的判据、伴随函子定理、表示函子

什么是反射子范畴

反射子范畴、紧 Haus 是反射子范畴、紧生成空间是余反射子范畴

Kan 延拓是什么

Kan 延拓、Kan 延拓的两个例子、伴随函子

紧 Hausdorff 空间有什么特别

紧 Hausdorff 空间范畴、紧 Haus 是反射子范畴、Gleason 定理

Stone-Cech 紧化是什么

紧 Haus 是反射子范畴、自由紧 Hausdorff 空间、紧 Hausdorff 空间范畴

什么是 Stone 空间

全不连通与 Stone 空间、Stone ⟺ 投射有限、Stone 空间是 CHaus 的反射子范畴

投射有限空间是什么

投射有限空间、Stone ⟺ 投射有限、全不连通与 Stone 空间

什么是投射对象

投射 / 内射对象、Gleason 定理、Cond 有足够多投射对象

层是什么

层、层的下降条件、预层

什么是 Grothendieck 拓扑

Grothendieck 拓扑、预拓扑、筛

预层怎么变成层

层化、Čech 函子、Čech 函子的性质

拓扑斯是什么

拓扑斯、Giraud 定理、预拓扑斯

Giraud 定理说了什么

Giraud 定理、拓扑斯、标准拓扑

层和拓扑斯什么关系

层、拓扑斯、层化

拓扑斯之间的映射是什么

拓扑斯的态射、伴随函子、极限

什么是拟紧对象

拟紧对象、拟紧的性质、拟分离对象

凝聚态集是什么

凝聚态集、紧 Hausdorff 空间范畴、层

凝聚态集为什么是拓扑斯

Cond 是拓扑斯、凝聚态集、Giraud 定理

凝聚态集合普通拓扑空间什么关系

Top 与 Cond 的伴随、底拓扑空间、紧生成空间

凝聚态阿贝尔群是什么

凝聚态阿贝尔群、阿贝尔层、截面函子保极限余极限

什么是紧生成空间

紧生成空间、紧生成空间是余反射子范畴、底拓扑空间

凝聚态数学是干什么的

凝聚态集、凝聚态阿贝尔群、Cond 是拓扑斯

复形是什么

上链复形、复形范畴是加法范畴、同调

同调是什么

同调、同调的短正合列、长正合列

什么是长正合列

长正合列、同调、上同调函子

同伦和同调什么关系

同伦、同伦范畴、拟同构

什么是映射锥

映射锥、导出三角、三角的旋转与延拓

什么是拟同构

拟同构、同调、同伦范畴

谱序列是什么

谱序列、过滤、同调

内射对象怎么判断

内射对象的判据、投射 / 内射对象、单态射 / 满态射 / 同构

什么是阿贝尔层

阿贝尔层、取值一般的预层与层、层

拓扑斯上的阿贝尔群是什么范畴

拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴、阿贝尔层、Grothendieck 范畴

什么是内 Hom

内 Hom、阿贝尔层的张量积、伴随函子

层的张量积怎么算

阿贝尔层的张量积、内 Hom、层化

为什么凝聚态阿贝尔群可以做代数

阿贝尔层的张量积、CondAb 满足 AB6 与 AB4*、凝聚态阿贝尔群

什么是平坦对象

平坦阿贝尔层、阿贝尔层的张量积、加法 / 阿贝尔范畴

商映射乘局部紧是什么定理

商映射与局部紧空间作积、紧生成空间对积封闭、商拓扑

什么是k拓扑

k-开、k-闭与 k-拓扑、紧生成空间、紧生成空间是余反射子范畴

哪些空间是紧生成的

紧生成空间、紧生成空间的例子、紧生成空间的等价刻画

什么是弱 Hausdorff

弱 Hausdorff 空间、弱 Hausdorff 的基本性质、CGWH 是 CG 的反射子范畴

紧开拓扑是什么

紧开拓扑、函数空间弱 Hausdorff、紧生成空间

Noether 第一同构定理

第一同构定理（Noether）、商群、群同态、核与像

商群是什么

商群、正规子群、商集与等价类

核为什么是正规子群

群同态、核与像、正规子群、第一同构定理（Noether）

积拓扑是什么

积拓扑、商拓扑、紧生成空间

紧生成空间为什么好用

紧生成空间是笛卡尔闭的、CG 的指数伴随、CGWH 是 CG 的反射子范畴

什么是局部化

局部化、分式演算下的局部化、同伦范畴

什么是分式演算

分式演算下的局部化、局部化

Urysohn 引理是什么

Urysohn 引理、正规空间、Hausdorff 空间

拓扑阿贝尔群怎么进凝聚态

拓扑阿贝尔群嵌入凝聚态、拓扑阿贝尔群、凝聚态阿贝尔群

什么是 Pontryagin 对偶

Pontryagin 对偶、Pontryagin–van Kampen 对偶

局部紧阿贝尔群能做同调代数吗

局部紧阿贝尔群不是阿贝尔范畴、CondAb 满足 AB6 与 AB4*、拓扑阿贝尔群嵌入凝聚态

什么是环

环、理想、域

什么是模

模、环、加法 / 阿贝尔范畴

Freyd-Mitchell 是什么

Freyd–Mitchell 嵌入定理、加法 / 阿贝尔范畴、模

什么是共尾函子

共尾函子、共尾函子不改变余极限、连通范畴

什么是连通范畴

连通范畴、共尾函子

共尾函子为什么不改变余极限

共尾函子不改变余极限、共尾函子、滤过范畴

什么是滤过范畴

滤过范畴、滤过余极限正合、滤过范畴可换成有向集

滤过和有向集什么关系

滤过范畴可换成有向集、滤过范畴、共尾函子

可表函子保极限吗

可表函子保所有极限、表示函子、米田引理

什么是群对象

群对象与阿贝尔群对象、幺半群对象、Ab(C) 的例子

拓扑阿贝尔群是怎么定义的

Ab(C) 的例子、群对象与阿贝尔群对象、拓扑阿贝尔群

环的局部化是什么

环的局部化 W⁻¹R、局部化、分式演算下的局部化

覆盖筛的等价条件

覆盖筛的四条等价、覆盖筛即余积满射、筛

极限怎么构造

极限的构造、极限、等化子 / 余等化子

什么是截面函子

截面函子、截面函子保极限余极限、层

什么是蛇引理

蛇引理、长正合列、同调

什么是五引理

五引理、蛇引理、加法 / 阿贝尔范畴

逗号范畴是什么

逗号范畴、切片范畴、元素范畴

什么是拟紧的凝聚态集

拟紧对象、qc 与 qcqs 的判定、自由紧 Hausdorff 空间

什么是拟分离

拟分离对象、紧生成：弱 Hausdorff ⟺ 拟分离、拟分离即含入的滤过余极限

紧 Hausdorff 空间在凝聚态里长什么样

qc 与 qcqs 的判定、紧 Hausdorff 空间范畴、凝聚态集

弱 Hausdorff 和拟分离是一回事吗

紧生成：弱 Hausdorff ⟺ 拟分离、弱 Hausdorff 推出 拟分离、拟分离 推出 底空间弱 Hausdorff

内部 Hom 怎么用连续函数空间算

内部 Hom 的函数空间刻画、内 Hom、紧生成空间

什么空间上凝聚态上同调会消失

Stonean 上凝聚阿贝尔群零调、实 Banach 在紧 Hausdorff 上零调、Stone 上常系数零调

凝聚态上同调和层上同调什么关系

局部紧上凝聚态＝层上同调、层上同调、紧 Hausdorff 上 Čech 就是上同调

Dyckhoff 定理说的是什么

局部紧上凝聚态＝层上同调、层上同调、局部紧 Hausdorff 空间

什么是 Banach 阿贝尔群

Banach 阿贝尔群、半范数阿贝尔群、Banach 在 Stone 上零调

什么是 K-有界正合

K-有界正合、相邻两条 K-有界 推出 正合、K-有界零调 推出 零调

K-有界正合为什么能推出正合

相邻两条 K-有界 推出 正合、K-有界零调 推出 零调、K-有界正合

实 Banach 空间在紧 Hausdorff 上零调吗

实 Banach 在紧 Hausdorff 上零调、Banach 在 Stone 上零调、Stone 满射的 Čech 复形 1-有界零调

Tietze 延拓在凝聚态数学里怎么用

Tietze 延拓（Banach 值）、正规空间、实 Banach 在紧 Hausdorff 上零调

什么是 Breen-Deligne 分解

Breen–Deligne 分解、Stonean 上 Breen–Deligne 的谱序列、凝聚态阿贝尔群

Breen-Deligne 分解有什么用

Breen–Deligne 分解、Stonean 上 Breen–Deligne 的谱序列、Breen–Deligne 的一般谱序列

Ext 怎么算

Stonean 上 Breen–Deligne 的谱序列、Stonean 上 Ext 的截面公式、Breen–Deligne 分解

Stonean 上 Ext 的截面公式

Stonean 上 Ext 的截面公式、全不连通与 Stone 空间、扩展群 Ext

Z R T 之间的 RHom 怎么算

Z/R/T 的 RHom 计算表、离散对偶的 RHom 与导出张量、Pontryagin 对偶的 RHom 刻画

有限维 Banach 之间的 RHom

有限维 Banach 之间的 RHom、有限维 Banach 到离散群全零、Banach 阿贝尔群

局部紧阿贝尔群的高次 Ext 会消失吗

局部紧阿贝尔群高次 Ext 消失、局部紧阿贝尔群结构定理、连通局部紧到离散只剩 Ext一次

Pontryagin 对偶怎么用 RHom 写

Pontryagin 对偶的 RHom 刻画、Pontryagin 对偶、Z/R/T 的 RHom 计算表

局部的紧阿贝尔群结构定理是什么

局部紧阿贝尔群结构定理、局部紧阿贝尔群高次 Ext 消失、局部紧 Hausdorff 空间

挠群的对偶是什么

挠 与 Stonean，无挠 与 连通、全不连通与 Stone 空间、Pontryagin 对偶

离散群的对偶是什么

离散 与 紧 Hausdorff、Pontryagin 对偶、紧 Hausdorff 空间范畴

Cond 为什么是拓扑斯

Cond 是拓扑斯、Cond 的极限与余极限、Cond 的满态射都是正则的、Cond 的等价关系有效

Giraud 判据是什么

Cond 的等价关系有效、Cond 的满态射都是正则的、Giraud 定理

什么是正合列

一般正合列、分裂短正合列、长正合列

Grothendieck 范畴为什么能做同调代数

Grothendieck 范畴有足够多内射、Grothendieck 范畴、右导出函子

AB5 和 AB3* 什么关系

AB5 与 AB3*/AB4* 的关系、Grothendieck 的 AB 公理、Grothendieck 范畴

哪些范畴满足哪些 AB 公理

AB 公理的例子表、Grothendieck 的 AB 公理、CondAb 满足 AB6 与 AB4*

层上同调怎么算

单纯方法算层上同调、层上同调、Čech 上同调

什么是 Cartan-Eilenberg 分解

Cartan–Eilenberg 分解、双复形、谱序列

Čech 上同调什么时候等于层上同调

紧 Hausdorff 上 Čech 就是上同调、Čech 上同调、层上同调

紧块拼起来的空间上同调怎么算

滤过极限的上同调、紧块沿闭含入拼出的空间、层上同调

Stone 表示定理是什么

Boolean 环与 Stone 空间等价、布尔环、全不连通与 Stone 空间

布尔环和 Stone 空间什么关系

Boolean 环与 Stone 空间等价、布尔环、全不连通与 Stone 空间