极值判别（Hessian 判据）

谁指向它（入边）

推出 1

• 多元 Taylor 公式、Sylvester 判据、谱定理（实对称） ⟹ 本页推出
  二阶 Taylor + 正定二次型的估计 $\implies$ 极值判别

  由 $\nabla f(a) = 0$ 与 $k = 2$ 的 Taylor 公式（thm.taylor-multi）：

  $$f(a + h) = f(a) + \frac{1}{2} h^{\mathsf{T}} H_f(a)\, h + o\bigl(\|h\|^{2}\bigr)$$

  记 $H := H_f(a)$。由 thm.spectral-theorem，$H$ 有正交标准特征基，特征值 $\lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n$，于是对一切 $h$

  $$\lambda_1 \|h\|^{2} \le h^{\mathsf{T}} H h \le \lambda_n \|h\|^{2}$$

  正定情形（$\lambda_1 > 0$）：余项 $o(\|h\|^{2})$ 满足「存在 $\rho > 0$，$\|h\| < \rho$ 时 $|o(\|h\|^{2})| \le \frac{\lambda_1}{4}\|h\|^{2}$」。于是

  $$f(a+h) - f(a) \ge \frac{\lambda_1}{2}\|h\|^{2} - \frac{\lambda_1}{4}\|h\|^{2} = \frac{\lambda_1}{4}\|h\|^{2} > 0 \quad (0 < \|h\| < \rho)$$

  即 $a$ 是局部严格极小点。

  负定情形：把 $f$ 换成 $-f$（注意 $\nabla(-f) = -\nabla f = 0$、$H_{-f} = -H_f$ 正定）即得局部严格极大点。

  不定情形（有 $\lambda > 0$ 与 $\mu < 0$）：取 $v_{+}$、$v_{-}$ 为对应的特征向量并单位化。沿 $h = tv_{+}$（$t \ne 0$ 小）有 $h^{\mathsf{T}}Hh = \lambda t^{2} > 0$，故 $f(a+tv_{+}) > f(a)$；沿 $h = tv_{-}$ 有 $h^{\mathsf{T}}Hh = \mu t^{2} < 0$，故 $f(a+tv_{-}) < f(a)$。任意小的邻域里两种情况都出现，所以 $a$ 既非局部极小也非局部极大。∎

  半定 / 退化：不做判断 —— 结论需要 $k > 2$ 的信息（反例见节点说明：$x^{4}+y^{4}$ 与 $x^{4}-y^{4}$ 在原点同为 $H = 0$，结论相反）。

  ⭐ 整条证明只用了两个外部事实：二次型的特征值估计（谱定理）与 $o$ 记号的显式控制。前者是线性代数，后者是微积分 —— 这条定理正是两者接口的样板。

定义引用 1

• 二次型 → 本页定义引用

  极值判别判的是二次型 $h \mapsto h^{\mathsf{T}}H_f(a)h$ 的正定性，所以要先用二次型那套语言。