可微与全微分

可微与全微分（Total Differential）

定义
依赖深度 layer 18
分析学
多元微分

def.total-differential · 定义 · 微积分 · 多元

陈述

设 $U \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 开， $f : U \to \mathbb{R}^{m}$ ， $a \in U$ 。称 $f$ 在 $a$ 可微，当且仅当存在线性映射 $L : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ 使

f(a + h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|) \qquad (\|h\| \to 0)

这样的 $L$ 若存在则唯一，记 $Df(a)$ ，叫 $f$ 在 $a$ 的导数（也叫全微分）。

由偏导定义的线性映射「 $h \mapsto \bigl(\sum_j \partial_j f_i(a)\, h_j\bigr)_i$ 」在偏导连续时就是 $Df(a)$ ； $f$ 在 $U$ 上各偏导存在且连续时记 $f \in C^{1}(U)$ 。

说明

⭐ 全微分的实质是一个线性映射（def.linear-map），不是「一列偏导数」。偏导只是它在标准基下的矩阵（def.jacobian）—— 把 $Df(a)$ 想成矩阵会丢掉「换坐标后怎么办」这个最关键的信息。

唯一性：若 $L_1, L_2$ 都满足，则 $(L_1 - L_2)(h) = o(\|h\|)$ 。取 $h = tv$ （ $v \ne 0$ ）除以 $t$ 令 $t \to 0$ ，得 $(L_1 - L_2)(v) = 0$ ，故 $L_1 = L_2$ 。∎

$C^{1} \implies$ 可微：取 $L$ 为偏导矩阵。沿坐标方向逐段用一元中值定理（thm.mvt）：把 $h$ 拆成 $n$ 步、每步只动一个坐标，每次得到一个 $O(|h_j|)$ 的余项，累加得余项 $O(\|h\|) \to 0$ 。∎

⚠ 与 def.rn-derivative 必须分清：那一条里的「 $\mathbb{R}^{n}$ 导数」是 Radon–Nikodym 意义的密度 $\frac{d\nu}{d\mu}$ （测度比），与这里的全微分同名不同物，两者之间没有一般关系。

⭐ 层级一览：可微 $\implies$ 连续，可微 $\implies$ 一切方向导数存在，可微 $\implies$ 一切偏导存在；三个反过来的箭头都不成立（反例见 def.partial-derivative 与 def.directional-derivative）。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 多元链式法则推出

可微的定义 $\implies$ 链式法则（线性映射的复合）

记 $L := Df(a)$ 、 $M := Dg(b)$ （ $b = f(a)$ ）。由可微的定义存在函数 $\varepsilon, \eta$ 使
$f(a + h) = f(a) + L(h) + \varepsilon(h)\,\|h\|, \qquad \|\varepsilon(h)\| \to 0;$ $g(b + k) = g(b) + M(k) + \eta(k)\,\|k\|, \qquad \|\eta(k)\| \to 0.$
第一步：估计 $k := f(a+h) - f(a)$ 的大小。 由第一式
$\|k\| \le \bigl( \|L\| + \|\varepsilon(h)\| \bigr)\|h\| \le (\|L\| + 1)\,\|h\|$
对充分小的 $h$ 成立；特别地 $k \to 0$ （ $h \to 0$ ）。
第二步：代入。
$(g \circ f)(a + h) = g\bigl( b + k \bigr) = g(b) + M(k) + \eta(k)\,\|k\| = (g \circ f)(a) + (M \circ L)(h) + \underbrace{M\bigl(\varepsilon(h)\|h\|\bigr) + \eta(k)\,\|k\|}_{=: R(h)}$
第三步：证明 $R(h) = o(\|h\|)$ 。 第一项： $\|M(\varepsilon(h)\|h\|)\| \le \|M\|\,\|\varepsilon(h)\|\,\|h\| = o(\|h\|)$ 。第二项：由第一步 $\|k\| \le (\|L\|+1)\|h\|$ ，又 $k \to 0$ 故 $\|\eta(k)\| \to 0$ ，于是 $\|\eta(k)\|\,\|k\| \le \|\eta(k)\||(\|L\|+1)\|h\| = o(\|h\|)$ 。
两式相加得 $R(h) = o(\|h\|)$ 。于是 $g \circ f$ 在 $a$ 可微，且导数正是线性映射 $M \circ L = Dg(f(a)) \circ Df(a)$ （由全微分的唯一性）。取标准基写成矩阵即得 $J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a))J_f(a)$ 。∎

第三步是全部的技术内容：必须显式地把 $o(\|k\|)$ 换成 $o(\|h\|)$ 。直接写 $Dg(f(a)+h)$ 是错的，因为可微性是在「 $f$ 的像点附近」给的，不是在「 $a$ 附近」给的。

定义引用 1

Jacobi 矩阵用到本页定义引用

Jacobi 矩阵是线性映射 $Df(a)$ 在标准基下的矩阵，所以要先有全微分。

谁指向它（入边）

定义引用 2

线性映射 → 本页定义引用

⭐ 全微分的定义里出现的对象就是一个线性映射 $L$ —— 这条依赖是整个多元微分「线性代数化」的起点。
方向导数 → 本页定义引用

可微蕴含一切方向导数存在（且 $D_v f(a) = Df(a)(v)$ ）—— 方向导数是可微性必须「兼容」的下层概念。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 9
Spivak, Calculus on Manifolds, Ch. 2
Lang, Undergraduate Analysis, Ch. XVI

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