Sard 定理

定理（Sard）：临界值集是零测集

定理
依赖深度 layer 24
分析学
多元微分

thm.sard · 定理 · 微积分 · 测度

陈述

设 $U \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 开， $f : U \to \mathbb{R}^{m}$ 是 $C^{k}$ 且 $k > n - m$ （ $C^{\infty}$ 时自然满足）。则 $f$ 的临界值全体

f\bigl( \{ x \in U : \operatorname{rank} Df(x) < m \} \bigr) \subseteq \mathbb{R}^{m}

是 $\mathbb{R}^{m}$ 中的零测集（def.null-set，Lebesgue 测度为零）。

说明

⭐ Sard 说「临界值极其稀少」：几乎每个值都是正则值，于是几乎每个水平集是子流形（thm.regular-value）。这一条把「正则性」从「碰巧成立的假设」变成「几乎必然成立的事实」——这是微分拓扑里所有「一般位置」论证的根基。

⚠ 光滑性（或足够高阶）是必要的： $n = m = 1$ 且 $f$ 只是 $C^{1}$ 时有反例（Whitney 构造的 $C^{1}$ 函数把临界值映满一个区间）。Sard 给出的门槛是 $C^{k}$ 、 $k > n - m$ 。

⭐ 常被引用的推论：任意 $n$ 维流形可以嵌入 $\mathbb{R}^{2n}$ （用 Sard 制造一个「一般位置」的映射），以及 Borsuk–Ulam 型结论、Morse 理论里「几乎所有函数所有临界点都非退化」。

⚠ 本节点只给证明提纲，不声称给出完整证明 —— 完整证明相当重（对 $m$ 归纳、Whitney 分解、外层用 Fubini 定理把零测性降维）。提纲与出处：

$m = 1$ ：对 $n$ 归纳，把 $U$ 切成可数多个小方块，在每个方块上把 $f$ 展成一阶 Taylor，用「临界点处 $Df(x) = 0$ 」把小方块的像控制住；
一般 $m$ ：改用「临界点按 $\operatorname{rank}$ 分层」（Whitney 分解），每层用 Fubini 降到低维情形，再对 $\operatorname{rank}$ 归纳。

细节见 Milnor《Topology from the Differentiable Viewpoint》§3 与 Sternberg《Lectures on Differential Geometry》§II.3。∎

谁指向它（入边）

推出 1

多元 Taylor 公式 ⟹ 本页推出

证明提纲：对 $m$ 归纳 + Whitney 分解 + Fubini
⚠ 这是提纲，不是完整证明 —— 完整证明相当重，节点说明里已声明。以下只把骨架摆清楚，每一步都能在标准参考书中找到细节。
情形 $m = 1$ ：对 $n$ 归纳。 把 $U$ 用可数多个边长 $\delta$ 的闭方块盖住，在每个方块上对 $f$ 用带 Lagrange 余项的一阶 Taylor：
$f(x + h) = f(x) + Df(x)h + R(x, h), \qquad |R(x,h)| \le C\|h\|^{2}$
若 $x$ 是临界点（ $Df(x) = 0$ ），则 $f$ 在该方块上的像被压进「以 $f(x)$ 为心、半径 $C\delta^{2}$ 的区间」；把它再按 $x_1$ 切片，对每个切片用 $(n-1)$ 维的归纳假设（ $f$ 在切片上的临界点集零测），再用 Fubini 把零测性从切片拼回整体。取 $\delta \to 0$ 得证。
一般 $m$ ：Whitney 分解。 令 $S_i := \{ x : \operatorname{rank} Df(x) = i \}$ （ $i = 0, 1, \ldots, m-1$ ），临界点集是 $\bigcup_i S_i$ 。要证每个 $f(S_i)$ 零测。对 $i$ 从大到小归纳（外层对 $m$ 归纳）：
- $S_i$ 中「 $f$ 在该点局部 $i$ 维平坦」的那部分：把 $S_i$ 局部写成 $\mathbb{R}^{i}$ 上的图（秩定理思想），于是 $f|_{S_i}$ 局部是 $i$ 维映射，对 $i < m$ 用外层归纳假设（注意此时 $\operatorname{rank} <$ 目标维数，直接套 $m' = i$ 的归纳）；
- 其余部分：逐层剥去低维子集，每一层用 Fubini 降到 $n - 1$ 维，再用内层对 $n$ 的归纳。
收敛性： 上面两处归纳都是「对 $(n, m)$ 的良序」进行的（按 $n + m$ 或按字典序），每一层都把问题降到更小的 $(n', m')$ ，有限步终止。
为什么需要 $k > n - m$ ： 上面 $m = 1$ 那一层用了二阶 Taylor 余项 $O(\|h\|^{2})$ ；一般情形每降一维就多要一阶导数，累加需要 $k^{(m)} > n - m$ 阶。Whitney 的 $C^{1}$ 反例正说明这个门槛不可省。
细节：Milnor《Topology from the Differentiable Viewpoint》§3；Sternberg《Lectures on Differential Geometry》§II.3；Guillemin–Pollack §2。∎（提纲）
⚠ 「∎」在这里标记的是提纲的完整交付，不是定理的完整证明。这一条是本图上少数几条明确标注「不给完整证明」的定理之一 —— 理由是完整证明的篇幅与所用工具（Fubini + Whitney 分解）都超出了本团其余内容的层次。

定义引用 1

零集与完备 → 本页定义引用

Sard 定理的结论是「零测集」，用到的就是零测集这个概念。

参考

Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, §3
Sternberg, Lectures on Differential Geometry, §II.3
Guillemin–Pollack, Differential Topology, §2

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