Hessian 矩阵

说明

⭐ $H_f(a)$ 就是二阶导数 $D^{2} f(a)$ 写成矩阵 —— 而 $D^{2}f(a)$ 本身是 $\mathbb{R}^{n}$ 上的对称双线性型（def.bilinear-form），$H_f$ 只是它在标准基下的系数。$f \in C^{2}$ 时对称性来自 Schwarz 定理（thm.mixed-partials）。

⭐ 对称矩阵可以正交对角化（thm.spectral-theorem），对角元是特征值；于是「$H$ 正定 / 负定 / 不定」就是判极值用的那把尺（thm.sylvester-criterion）。这一步是「微积分 $\times$ 线性代数」在本科阶段最漂亮的一次交汇。

⭐ 进一步：$\det H_f(a) \ne 0$ 的临界点叫非退化临界点，负特征值个数叫 Morse 指数 —— 它完全决定临界点附近的局部形状（thm.morse-lemma）。

⚠ Hessian 依赖坐标（$H$ 不是张量，换坐标后不变的是惯性指数）：线性换基 $x = P u$ 时 $H \mapsto P^{\mathsf{T}} H P$，故正定性、负定性、指数都不变（Sylvester 惯性定律），而具体元素会变。