逆映射定理

定理（逆映射定理）： $Df(a)$ 可逆 $\implies$ 局部可逆

定理
依赖深度 layer 23
分析学
多元微分

thm.inverse-function · 定理 · 微积分 · 多元 · 反函数

陈述

设 $U \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 开， $f : U \to \mathbb{R}^{n}$ 是 $C^{1}$ ， $a \in U$ 且 $Df(a)$ 可逆。则存在 $a$ 的开邻域 $V \subseteq U$ 与 $f(a)$ 的开邻域 $W$ 使

f\bigl|_{V} : V \to W \quad \text{是双射}

且其逆 $g := (f\bigl|_{V})^{-1} : W \to V$ 也是 $C^{1}$ ，并且对一切 $y \in W$

Dg(y) = \bigl( Df(g(y)) \bigr)^{-1}

说明

⭐ 定理的形状值得记：局部可逆 $\iff$ $Df(a)$ 可逆，而且「逆映射的导数 = 导数的逆」。后半句完全是线性代数的操作 —— 一旦把 $f$ 局部看成「线性映射加高阶小量」，求逆自然落在 $Df$ 上。

⚠ 「局部」不能去掉。 $f(x, y) = (e^{x}\cos y,\ e^{x}\sin y)$ 的 $\det Df = e^{2x} \ne 0$ 处处成立，但 $f$ 整体远非单射（ $y$ 有周期 $2\pi$ ）。

⚠ 定理只保证 $C^{1}$ ；但由 $Dg = (Df \circ g)^{-1}$ 立即得： $f$ 光滑 $\implies$ $g$ 光滑（ $Df\circ g$ 光滑、求逆是光滑运算）。这就是「 $f$ 是微分同胚 $\implies$ $f^{-1}$ 也是」。

⭐ 定理顺带说明了 $f$ 是开映射（把开集 $V$ 映成开集 $W$ ）—— 这一点在有限维是免费的，在 Banach 空间里要靠开映射定理另行处理。

⚠ 与 thm.regular-value、cor.rank-theorem 是一个家族：秩定理说「常秩映射局部只有标准形」，逆映射定理是 $r = n = m$ 的特例。

证明全文在边上（化归到 $Df(a) = I$ ，用压缩映射原理造出 $f$ 的局部逆，再从 $f \circ g = \mathrm{id}$ 反解 $Dg$ ）。

它指向谁（出边）

推出 3

本页 ⟹ 隐函数定理推出

对 $\Phi(x,y) = (x, F(x,y))$ 用逆映射定理 $\implies$ 隐函数定理

第一步：造 $\Phi$ 。 令
$\Phi : U \to \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m}, \qquad \Phi(x, y) := \bigl( x,\ F(x, y) \bigr)$
则 $\Phi$ 是 $C^{1}$ ， $\Phi(a, b) = (a, 0)$ 。
第二步： $D\Phi(a,b)$ 可逆。 写成块矩阵（按 $x$ 与 $y$ 分块）：
$D\Phi(a, b) = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ D_x F(a,b) & D_y F(a,b) \end{pmatrix}$
这是块上三角矩阵，故 $\det D\Phi(a,b) = \det D_y F(a,b) \ne 0$ 。
第三步：用逆映射定理。 存在 $(a, b)$ 的邻域 $\widetilde U$ 与 $(a, 0)$ 的邻域 $\widetilde W$ ，使 $\Phi|_{\widetilde U} : \widetilde U \to \widetilde W$ 是 $C^{1}$ 双射，逆记 $\Theta$ ，且 $D\Theta = (D\Phi)^{-1}$ 。
第四步：逆必须有形状 $\Theta(x, z) = (x, \theta(x, z))$ 。 因为 $\Phi$ 保持第一个分量不变（第一坐标就是 $x$ ），故 $\Theta$ 也保持第一分量不变。
第五步：取 $g(x) := \theta(x, 0)$ 。 由 $\Phi \circ \Theta = \mathrm{id}$ 得 $F\bigl(x,\ \theta(x, 0)\bigr) = 0$ ，且 $\Theta(a, 0) = (a, b)$ 给出 $g(a) = b$ 。存在 $a$ 的开邻域 $V$ 使 $(x, 0) \in \widetilde W$ （ $\widetilde W$ 开）。 $g$ 是 $C^{1}$ 的复合，故 $C^{1}$ 。
第六步：唯一性与 $Dg$ 的公式。 若 $\widehat g$ 也在 $V$ 上满足 $\widehat g(a) = b$ 、 $F(x, \widehat g(x)) = 0$ ，则 $(x, \widehat g(x))$ 是 $(x, 0)$ 在 $\Phi$ 下的原像，由 $\Phi$ 在 $\widetilde U$ 上单射得 $\widehat g = g$ 。最后对 $F(x, g(x)) = 0$ 两边求导并用链式法则： $D_xF + D_yF \cdot Dg = 0$ ，解出 $Dg = -(D_yF)^{-1} D_xF$ 。∎

⭐ 整条证明里没有任何新的分析技巧 —— 全部内容都打包在 $\Phi$ 这个构造里。这就是「隐函数定理 = 逆映射定理的换装」的确切含义：同一件事换个写法，条件也随之翻译（ $D\Phi$ 可逆 $\iff$ $D_yF$ 可逆）。
本页 ⟹ 逆映射定理（Banach 版）推出

同一套证明换到 Banach 空间（多一步 Neumann 级数）

证明与有限维版本（imp.inverse-function）逐步对应，只有两处需要替换：
（i）化归到 $Df(a) = I$ 时要能取逆。 有限维里用「矩阵可逆即有逆矩阵」；这里 $Df(a) : E \to F$ 是拓扑线性同构，其逆 $A^{-1} \in \mathcal{L}(F, E)$ 有界，故
$\widetilde f(x) := A^{-1}\bigl( f(a + x) - f(a) \bigr)$
仍然合法（ $A^{-1}$ 有界 $\implies$ 连续 $\implies$ 保持 $C^{1}$ 性与可微性）。
（ii）第二步之后不需要新东西。 $\Phi := \mathrm{id} - \widetilde f$ 满足 $D\Phi(0) = 0$ ，由 $x \mapsto D\Phi(x)$ 连续，存在 $r > 0$ 使 $\|x\| \le r$ 时 $\|D\Phi(x)\| \le \frac{1}{2}$ ；由中值不等式（在 Banach 空间里逐字成立，thm.mean-value-multi）得 $\Phi$ 在闭球上系数 $\frac{1}{2}$ 压缩。闭球在 $E$ 中完备（ $E$ Banach），于是压缩映射原理给出唯一不动点，与有限维完全一样。
（iii）「Neumann 级数」用在哪里。 上面第 (i) 步只用到「 $A^{-1}$ 有界」。Neumann 级数出现在更一般的版本里：当只假设 $Df(a)$ 可逆（而没假设逆有界）时，可以先用
$(I - S)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} S^{k} \qquad (\|S\| < 1)$
证明「距恒等足够近的算子是拓扑同构」—— 级数的收敛性来自算子空间 $\mathcal{L}(F)$ 的完备性，这是 Banach 空间独有的工具，有限维里根本不需要（有限维自动完备）。有了它，就能把「 $Df$ 在 $a$ 附近接近 $Df(a)$ 」升级成「 $Df$ 在 $a$ 附近处处是拓扑同构」，从而在整个邻域上取逆。
其余各步（局部单射、逆的 Lipschitz 性、 $Dg = (Df\circ g)^{-1}$ 、 $C^{1}$ 性）与有限维逐字相同。∎

⭐ 有限维与无限维的差别浓缩成一句话：有限维里「可逆」与「拓扑可逆」是同一件事，无限维里不是。这条依赖边存在的意义就是把这句话钉在图上。
本页 ⟹ 常秩定理推出

逆映射定理 + 隐函数定理 $\implies$ 常秩定理

固定 $a \in U$ ，记 $r := \operatorname{rank} Df(a)$ 。
第一步：选主元并在定义域上换坐标。 $Df(a)$ 有某个 $r \times r$ 子式非零。不妨设前 $r$ 个坐标上的主子式非零（否则先重排坐标 —— 那是线性同构，不影响结论）。把 $x$ 拆成 $(x', x'') \in \mathbb{R}^{r} \times \mathbb{R}^{n-r}$ ， $f$ 拆成 $(f', f'') \in \mathbb{R}^{r} \times \mathbb{R}^{m-r}$ 。则 $D_{x'} f'(a)$ 可逆。
第二步：把 $f'$ 当成新坐标。 令 $\Phi(x', x'') := \bigl( f'(x', x''),\ x'' \bigr)$ 。它的导数在 $a$ 处是块矩阵 $\begin{pmatrix} D_{x'}f' & D_{x''}f' \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix}$ ，行列式 $= \det D_{x'}f' \ne 0$ ，故由逆映射定理（thm.inverse-function） $\Phi$ 在 $a$ 附近是 $C^{1}$ 坐标变换。在 $\Phi$ 坐标下（记新坐标仍为 $(y', y'')$ ，其中 $y' = f'(x',x'')$ 、 $y'' = x''$ ）， $\Phi$ 把 $f$ 变成
$f \circ \Phi^{-1}(y', y'') = \bigl( y',\ \widehat f(y', y'') \bigr)$
其中 $\widehat f$ 的取值在 $\mathbb{R}^{m-r}$ 里。这一步用掉了「 $f'$ 的前 $r$ 个分量可以当坐标」这个事实。
第三步： $\widehat f$ 不依赖 $y''$ 。 由常秩假设， $D(f\circ\Phi^{-1})$ 在每点秩恒为 $r$ ；而它的前 $r$ 行是 $(I_r\ \ 0)$ （因为第一分量就是 $y'$ ），于是后 $m - r$ 行必须是前 $r$ 行的线性组合。设后 $m-r$ 行的第一块为 $D_{y'}\widehat f$ ，则
$\operatorname{rank}\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ D_{y'}\widehat f & D_{y''}\widehat f \end{pmatrix} = r \iff D_{y''}\widehat f \equiv 0$
（若某点 $D_{y''}\widehat f \ne 0$ ，则该点的秩 $> r$ ，与常秩矛盾。）于是 $\widehat f$ 在连通邻域上只依赖 $y'$ ： $\widehat f = h(y')$ 。
第四步：再用一次逆映射定理把 $h$ 拉直。 $m - r$ 个分量 $\widehat f_1, \ldots, \widehat f_{m-r}$ 由第二步的秩条件知它们在 $y' = a'$ 处的 Jacobi 矩阵秩为 $m - r$ （否则整体秩会超过 $r$ ）；重排后可设 $h$ 的前 $m-r$ 个分量构成满秩。在值域上取坐标变换 $\psi(y', z', z'') := (y',\ h_1(y'), \ldots, h_{m-r}(y'),\ z'')$ ，其导数可逆（块结构同上），于是 $\psi \circ f \circ \Phi^{-1}$ 就是 $(y', y'') \mapsto (y', 0, \ldots, 0)$ 。
第五步：整理。 把 $\varphi := \Phi^{-1}$ （定义域坐标）、 $\psi$ （值域坐标）代入即得结论。∎

⚠ 第三步用到「邻域连通 + 导数为零 $\implies$ 常值」；这里可以取球邻域（凸、连通）规避讨论。⭐ 整条证明就是三次换坐标：把 $f'$ 变成坐标、把 $\widehat f$ 说成不依赖 $y''$ 、把 $h$ 拉直。

谁指向它（入边）

推出 1

压缩映射原理、多元中值定理、多元链式法则 ⟹ 本页推出

压缩映射原理 $\implies$ 逆映射定理（有限维）

记 $A := Df(a)$ ， $b := f(a)$ 。
第一步：化归到 $a = 0$ 、 $b = 0$ 、 $Df(0) = I$ 。 令 $\widetilde f(x) := A^{-1}\bigl( f(a + x) - b \bigr)$ 。则 $\widetilde f(0) = 0$ 、 $D\widetilde f(0) = A^{-1}A = I$ ，而 $f$ 的局部可逆性与逆的光滑性等价于 $\widetilde f$ 的。以下就设 $a = 0$ 、 $f(0) = 0$ 、 $Df(0) = I$ 。
第二步： $\Phi(x) := x - f(x)$ 在小球上是压缩。 由 $D\Phi(0) = I - I = 0$ 与 $D\Phi$ 的连续性，存在 $r > 0$ 使 $\|x\| \le r$ 时 $\|D\Phi(x)\| \le \frac{1}{2}$ 。于是对 $\|x\|, \|y\| \le r$ ，由中值不等式（thm.mean-value-multi）
$\|\Phi(x) - \Phi(y)\| \le \tfrac{1}{2}\|x - y\|$
第三步：对每个小 $y$ ，解 $f(x) = y$ 。 设 $\|y\| \le r/2$ 。定义 $\Psi_y(x) := y + \Phi(x)$ 。若 $\|x\| \le r$ 则 $\|\Psi_y(x)\| \le \|y\| + \|\Phi(x) - \Phi(0)\| + \|\Phi(0)\| \le \frac{r}{2} + \frac{r}{2} = r$ （注意 $\Phi(0) = 0$ ），故 $\Psi_y$ 把闭球 $\overline{B}(0, r)$ 映入自身；它又是系数 $\frac{1}{2}$ 的压缩映射。闭球在 $\mathbb{R}^{n}$ 中完备，由压缩映射原理（thm.banach-fixed-point） $\Psi_y$ 有唯一不动点 $x \in \overline{B}(0,r)$ ，即 $f(x) = y$ 。
第四步：唯一性（局部单射）。 若 $f(x_1) = f(x_2) = y$ 且 $\|x_i\| \le r$ ，则 $\Phi(x_1) - \Phi(x_2) = (x_1 - x_2) - (f(x_1) - f(x_2)) = x_1 - x_2$ ，取范数得 $\|x_1 - x_2\| \le \frac{1}{2}\|x_1 - x_2\|$ ，故 $x_1 = x_2$ 。于是记 $V := B(0, r) \cap f^{-1}(B(0, r/2))$ 、 $W := B(0, r/2)$ ，则 $f|_V : V \to W$ 是双射。（把 $V$ 取成开球与开原像之交， $V$ 、 $W$ 都开。）
第五步：逆映射连续。 对 $y_1, y_2 \in W$ ，记 $x_i := g(y_i)$ 。由第三步的论证
$\|x_1 - x_2\| = \|f(x_1) - f(x_2) + \Phi(x_2) - \Phi(x_1)\| \le \|y_1 - y_2\| + \tfrac{1}{2}\|x_1 - x_2\|$
故 $\|g(y_1) - g(y_2)\| \le 2\|y_1 - y_2\|$ ： $g$ 甚至 Lipschitz。
第六步： $g$ 可导且 $Dg(y) = (Df(g(y)))^{-1}$ 。 对 $y, y + k \in W$ 记 $x := g(y)$ 、 $x + h := g(y + k)$ （即 $h = g(y+k) - g(y)$ ）。由 $f$ 在 $x$ 可微
$k = f(x + h) - f(x) = Df(x)(h) + o(\|h\|)$
两边作用 $Df(x)^{-1}$ 并用第五步的 $\|h\| \le 2\|k\|$ ： $h = Df(x)^{-1}(k) + o(\|k\|)$ 。按定义这就是 $g$ 在 $y$ 可微，且 $Dg(y) = Df(g(y))^{-1}$ 。
第七步： $Dg$ 连续。 $Dg = (Df \circ g)^{-1}$ ； $g$ 连续、 $Df$ 连续、求逆（在 $GL_n$ 上）连续（prop.inverse-continuous 型的论证：逆的表达式含 $1/\det$ 与伴随矩阵，都连续），故 $Dg$ 连续，即 $g \in C^{1}$ 。∎

⭐ 第 2 步的化归（把 $Df(a)$ 变成 $I$ ）是全部技巧所在：一旦导数是恒等， $x - f(x)$ 就成为压缩的，于是「解方程」就变成了「找不动点」。第 6 步则说明「逆映射的导数是导数的逆」是定义的自然产物，不是额外结论。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 9
Spivak, Calculus on Manifolds, Ch. 2
Lang, Undergraduate Analysis, Ch. XVI

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