混合偏导相等

第一步：把一阶 Taylor 余项写成积分（避开「$'\theta$ 依赖 $h$」这个坑）。 对 $\varphi(t) := f(a + t(x - a))$ 用带积分余项的 Taylor 公式，

其中（$\varphi'(0) = Df(a)(x-a) = 0$ 用了临界性）

第二步：$h_{ij}$ 的性质。 积分号下求导说明 $h_{ij}$ 与 $f$ 有同样的光滑性；$h_{ij}(a) = \frac{1}{2}\partial_i\partial_j f(a)$；由 thm.mixed-partials，$h_{ij} = h_{ji}$（$f \in C^{2}$ 即可）。记对称矩阵函数 $h(x) := (h_{ij}(x))$。于是

第三步：光滑配方（把 $h(x)$ 对角化）。 在 $a$ 附近 $h(x)$ 非退化（因 $h(a) = \frac{1}{2}H_f(a)$ 可逆，可逆是开条件）。用光滑的 Gram–Schmidt / 配方法对对称矩阵函数作合同变换：逐步消去非对角项，得到

其中 $\sigma_i(x) > 0$ 光滑、$y_i(x)$ 是光滑函数且 $D y(a)$ 可逆（每一步的变换矩阵在 $a$ 附近可逆）。

第四步：把 $\sigma_i$ 吸收进坐标。 令 $u_i := \sqrt{\varepsilon_i\sigma_i(x)}\; y_i(x)$。因 $\sigma_i > 0$，$u$ 是 $a$ 附近的光滑坐标（$Du(a)$ 可逆），而

第五步：$\varepsilon_i$ 的符号个数 = Morse 指数。 由 $h(a) = \frac{1}{2}H_f(a)$ 与合同变换保惯性（Sylvester 惯性定律），负号的个数正是 $H_f(a)$ 的负特征值个数 $k$。∎

化归到 $n = 2$：只需证 $\partial_1\partial_2 f(a) = \partial_2\partial_1 f(a)$，其中 $a = (a_1, a_2)$。取 $h, k$ 使小方块 $[a_1, a_1+h] \times [a_2, a_2+k]$ 落在假设的邻域里。定义二阶差分

按第一种顺序：令 $\varphi(x) := f(x,\ a_2+k) - f(x,\ a_2)$。则 $\Delta = \varphi(a_1+h) - \varphi(a_1)$。对 $\varphi$ 用一维中值定理，存在 $\xi \in (a_1, a_1+h)$ 使

再对 $y \mapsto \partial_1 f(\xi, y)$ 用一次一维中值定理，存在 $\eta \in (a_2, a_2+k)$ 使

按第二种顺序：对称地（令 $\psi(y) := f(a_1+h, y) - f(a_1, y)$）得到存在 $\xi' \in (a_1, a_1+h)$、$\eta' \in (a_2, a_2+k)$ 使

取极限：两式相除 $hk \ne 0$ 得

令 $h, k \to 0$：此时 $\xi, \xi' \to a_1$、$\eta, \eta' \to a_2$，由两个混合偏导在 $a$ 处连续，两边分别趋于 $\partial_2\partial_1 f(a)$ 与 $\partial_1\partial_2 f(a)$，故两者相等。∎