方向导数

说明

⭐ 偏导是特例：$\frac{\partial f}{\partial x_j}(a) = D_{e_j} f(a)$。

⚠ 两个不等式要记牢：

• 所有方向导数都存在，不蕴含连续（更不蕴含可微）。经典反例 $f(x, y) = x^{2}y/(x^{4} + y^{2})$，原点补 $0$：沿每条直线 $y = mx$ 有 $f \to 0$，故一切方向导数存在且为 $0$；但沿抛物线 $y = x^{2}$ 有 $f \equiv 1/2$，故 $f$ 在原点不连续。
• 可微 $\implies$ 一切方向导数存在，且 $v \mapsto D_v f(a)$ 是线性的，等于 $Df(a)(v)$。

⭐ 于是两者的真正区别是：可微要求「$v \mapsto D_v f(a)$ 线性」，而逐点存在只要求每条直线上的极限存在。多元微积分里一切「反例」几乎都是在这条缝里做文章。