正则值原像定理

记 $M := g^{-1}(0)$。由假设 $\operatorname{rank} Dg(a) = m$，$a$ 是 $M$ 的正则点，于是由 thm.regular-value，$M$ 在 $a$ 附近是 $(n-m)$ 维子流形。

第一步：切空间 = $\ker Dg(a)$。 $M$ 是 $g$ 的水平集，故 $M$ 上任何一条过 $a$ 的曲线的速度向量 $\gamma'(0)$ 都满足 $Dg(a)\gamma'(0) = 0$（对 $g \circ \gamma \equiv 0$ 求导）。两个维度都对：$\dim \ker Dg(a) = n - m = \dim M$，所以

第二步：$Df(a)$ 在 $T_aM$ 上为零。 设 $v \in T_aM$，取过 $a$ 的曲线 $\gamma$（$\gamma(0) = a$，$\gamma'(0) = v$，$\gamma \subset M$）。函数 $t \mapsto f(\gamma(t))$ 在 $t = 0$ 取局部极值，故其导数为零：由链式法则 $Df(a)(v) = 0$。

第三步：纯线性代数。 现在有两个线性映射 $Dg(a) : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$（满射）与 $Df(a) : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$（线性型），满足

引理（因子化）：若线性映射 $S : E \to F$ 满射、线性型 $\ell : E \to K$ 满足 $\ker S \subseteq \ker \ell$，则 $\ell$ 可分解为 $\ell = \lambda \circ S$，其中 $\lambda : F \to K$ 线性。

引理的证明：由秩–零化度，$S$ 诱导线性同构 $\overline S : E/\ker S \to F$；而 $\ker S \subseteq \ker \ell$ 说明 $\ell$ 穿过商，给出 $\overline \ell : E/\ker S \to K$。取 $\lambda := \overline \ell \circ \overline S^{-1}$ 即可。∎（引理）

第四步：翻译回梯度。 把 $\lambda$ 在 $\mathbb{R}^{m}$ 的标准基下写成 $(\lambda_1, \ldots, \lambda_m)$，即得 $Df(a) = \sum_i \lambda_i Dg_i(a)$。再用标准内积与 Riesz 表示（每边换成梯度向量）得 $\nabla f(a) = \sum_i \lambda_i \nabla g_i(a)$。∎

设 $c$ 是正则值、$x_0 \in f^{-1}(c)$。要在 $x_0$ 附近把 $f^{-1}(c)$ 写成图。

第一步：选主元。 $Df(x_0)$ 是 $m \times n$ 满秩矩阵，故有某个 $m \times m$ 子式非零。重排坐标使后 $m$ 个坐标对应的子式非零（把 $x$ 写成 $(u, v) \in \mathbb{R}^{n-m} \times \mathbb{R}^{m}$）。

第二步：用隐函数定理解出 $v$。 令 $F(u, v) := f(u, v) - c$。则 $F(x_0) = 0$，且 $D_vF(x_0)$ 就是上一步那个可逆的 $m \times m$ 块。由隐函数定理（thm.implicit-function），存在 $u_0$ 的邻域 $V$ 与唯一 $C^{1}$ 映射 $g : V \to \mathbb{R}^{m}$ 使 $g(u_0) = v_0$ 且 $F(u, g(u)) = 0$。

第三步：认出图。 由第二步，

右边是 $C^{1}$ 函数的图，即 $n - m$ 维子流形；而 $x_0$ 是它的内点。每个 $x_0 \in f^{-1}(c)$ 都能这样处理，所以 $f^{-1}(c)$ 是 $n - m$ 维子流形。∎