压缩映射原理

记 $A := Df(a)$，$b := f(a)$。

第一步：化归到 $a = 0$、$b = 0$、$Df(0) = I$。 令 $\widetilde f(x) := A^{-1}\bigl( f(a + x) - b \bigr)$。则 $\widetilde f(0) = 0$、$D\widetilde f(0) = A^{-1}A = I$，而 $f$ 的局部可逆性与逆的光滑性等价于 $\widetilde f$ 的。以下就设 $a = 0$、$f(0) = 0$、$Df(0) = I$。

第二步：$\Phi(x) := x - f(x)$ 在小球上是压缩。 由 $D\Phi(0) = I - I = 0$ 与 $D\Phi$ 的连续性，存在 $r > 0$ 使 $\|x\| \le r$ 时 $\|D\Phi(x)\| \le \frac{1}{2}$。于是对 $\|x\|, \|y\| \le r$，由中值不等式（thm.mean-value-multi）

第三步：对每个小 $y$，解 $f(x) = y$。 设 $\|y\| \le r/2$。定义 $\Psi_y(x) := y + \Phi(x)$。若 $\|x\| \le r$ 则 $\|\Psi_y(x)\| \le \|y\| + \|\Phi(x) - \Phi(0)\| + \|\Phi(0)\| \le \frac{r}{2} + \frac{r}{2} = r$（注意 $\Phi(0) = 0$），故 $\Psi_y$ 把闭球 $\overline{B}(0, r)$ 映入自身；它又是系数 $\frac{1}{2}$ 的压缩映射。闭球在 $\mathbb{R}^{n}$ 中完备，由压缩映射原理（thm.banach-fixed-point）$\Psi_y$ 有唯一不动点 $x \in \overline{B}(0,r)$，即 $f(x) = y$。

第四步：唯一性（局部单射）。 若 $f(x_1) = f(x_2) = y$ 且 $\|x_i\| \le r$，则 $\Phi(x_1) - \Phi(x_2) = (x_1 - x_2) - (f(x_1) - f(x_2)) = x_1 - x_2$，取范数得 $\|x_1 - x_2\| \le \frac{1}{2}\|x_1 - x_2\|$，故 $x_1 = x_2$。于是记 $V := B(0, r) \cap f^{-1}(B(0, r/2))$、$W := B(0, r/2)$，则 $f|_V : V \to W$ 是双射。（把 $V$ 取成开球与开原像之交，$V$、$W$ 都开。）

第五步：逆映射连续。 对 $y_1, y_2 \in W$，记 $x_i := g(y_i)$。由第三步的论证

故 $\|g(y_1) - g(y_2)\| \le 2\|y_1 - y_2\|$：$g$ 甚至 Lipschitz。

第六步：$g$ 可导且 $Dg(y) = (Df(g(y)))^{-1}$。 对 $y, y + k \in W$ 记 $x := g(y)$、$x + h := g(y + k)$（即 $h = g(y+k) - g(y)$）。由 $f$ 在 $x$ 可微

两边作用 $Df(x)^{-1}$ 并用第五步的 $\|h\| \le 2\|k\|$：$h = Df(x)^{-1}(k) + o(\|k\|)$。按定义这就是 $g$ 在 $y$ 可微，且 $Dg(y) = Df(g(y))^{-1}$。

第七步：$Dg$ 连续。 $Dg = (Df \circ g)^{-1}$；$g$ 连续、$Df$ 连续、求逆（在 $GL_n$ 上）连续（prop.inverse-continuous 型的论证：逆的表达式含 $1/\det$ 与伴随矩阵，都连续），故 $Dg$ 连续，即 $g \in C^{1}$。∎

第一步：迭代列是 Cauchy 列。 任取 $x_0$，令 $x_{k+1} := Tx_k$。由压缩性

于是对 $m > k$，用三角不等式与几何级数

右端与 $m$ 无关且 $\to 0$（$k \to \infty$，因 $q < 1$），故 $(x_k)$ 是 Cauchy 列。

第二步：收敛（用完备性）。 $X$ 完备 $\implies$ 存在 $x^{\ast}$ 使 $x_k \to x^{\ast}$。

第三步：$x^{\ast}$ 是不动点。 $T$ 是压缩故连续（Lipschitz），于是

第四步：唯一。 若 $Tx = x$、$Ty = y$，则 $d(x, y) = d(Tx, Ty) \le q\, d(x, y)$，故 $(1 - q) d(x, y) \le 0$，因 $1 - q > 0$ 得 $d(x, y) = 0$，即 $x = y$。

第五步：误差估计。 在第一步的不等式中令 $m \to \infty$（$d$ 连续）得先验估计；后验估计由 $d(x_k, x^{\ast}) \le d(x_k, x_{k+1}) + d(x_{k+1}, x^{\ast}) \le q\, d(x_{k-1}, x_k) + q\, d(x_k, x^{\ast})$ 整理即得。∎