常秩定理

谁指向它（入边）

推出 1

• 逆映射定理、隐函数定理 ⟹ 本页推出
  逆映射定理 + 隐函数定理 $\implies$ 常秩定理

  固定 $a \in U$，记 $r := \operatorname{rank} Df(a)$。

  第一步：选主元并在定义域上换坐标。 $Df(a)$ 有某个 $r \times r$ 子式非零。不妨设前 $r$ 个坐标上的主子式非零（否则先重排坐标 —— 那是线性同构，不影响结论）。把 $x$ 拆成 $(x', x'') \in \mathbb{R}^{r} \times \mathbb{R}^{n-r}$，$f$ 拆成 $(f', f'') \in \mathbb{R}^{r} \times \mathbb{R}^{m-r}$。则 $D_{x'} f'(a)$ 可逆。

  第二步：把 $f'$ 当成新坐标。 令 $\Phi(x', x'') := \bigl( f'(x', x''),\ x'' \bigr)$。它的导数在 $a$ 处是块矩阵 $\begin{pmatrix} D_{x'}f' & D_{x''}f' \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix}$，行列式 $= \det D_{x'}f' \ne 0$，故由逆映射定理（thm.inverse-function）$\Phi$ 在 $a$ 附近是 $C^{1}$ 坐标变换。在 $\Phi$ 坐标下（记新坐标仍为 $(y', y'')$，其中 $y' = f'(x',x'')$、$y'' = x''$），$\Phi$ 把 $f$ 变成

  $$f \circ \Phi^{-1}(y', y'') = \bigl( y',\ \widehat f(y', y'') \bigr)$$

  其中 $\widehat f$ 的取值在 $\mathbb{R}^{m-r}$ 里。这一步用掉了「$f'$ 的前 $r$ 个分量可以当坐标」这个事实。

  第三步：$\widehat f$ 不依赖 $y''$。 由常秩假设，$D(f\circ\Phi^{-1})$ 在每点秩恒为 $r$；而它的前 $r$ 行是 $(I_r\ \ 0)$（因为第一分量就是 $y'$），于是后 $m - r$ 行必须是前 $r$ 行的线性组合。设后 $m-r$ 行的第一块为 $D_{y'}\widehat f$，则

  $$\operatorname{rank}\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ D_{y'}\widehat f & D_{y''}\widehat f \end{pmatrix} = r \iff D_{y''}\widehat f \equiv 0$$

  （若某点 $D_{y''}\widehat f \ne 0$，则该点的秩 $> r$，与常秩矛盾。）于是 $\widehat f$ 在连通邻域上只依赖 $y'$：$\widehat f = h(y')$。

  第四步：再用一次逆映射定理把 $h$ 拉直。 $m - r$ 个分量 $\widehat f_1, \ldots, \widehat f_{m-r}$ 由第二步的秩条件知它们在 $y' = a'$ 处的 Jacobi 矩阵秩为 $m - r$（否则整体秩会超过 $r$）；重排后可设 $h$ 的前 $m-r$ 个分量构成满秩。在值域上取坐标变换 $\psi(y', z', z'') := (y',\ h_1(y'), \ldots, h_{m-r}(y'),\ z'')$，其导数可逆（块结构同上），于是 $\psi \circ f \circ \Phi^{-1}$ 就是 $(y', y'') \mapsto (y', 0, \ldots, 0)$。

  第五步：整理。 把 $\varphi := \Phi^{-1}$（定义域坐标）、$\psi$（值域坐标）代入即得结论。∎

  ⚠ 第三步用到「邻域连通 + 导数为零 $\implies$ 常值」；这里可以取球邻域（凸、连通）规避讨论。⭐ 整条证明就是三次换坐标：把 $f'$ 变成坐标、把 $\widehat f$ 说成不依赖 $y''$、把 $h$ 拉直。