压缩映射

压缩映射（Contraction）

定义
依赖深度 layer 14
分析学
多元微分

def.contraction · 定义 · 度量空间 · 不动点

陈述

设 $(X, d)$ 是度量空间， $T : X \to X$ 。 $T$ 叫压缩映射，当且仅当存在常数 $q \in [0, 1)$ 使

d(Tx, Ty) \le q\, d(x, y) \qquad (x, y \in X)

最小的这样的 $q$ 叫 $T$ 的压缩系数。（ $q = 1$ 时叫非扩张映射，那时结论会变。）

说明

⚠ 关键是 $q < 1$ 必须一致成立，而不是「每点附近小于 $1$ 」。反例： $f(x) = x + 1/x$ 在 $[1, \infty)$ 上满足 $|f'(x)| = 1 - 1/x^{2} < 1$ 处处成立，但它不是压缩映射，也没有不动点（ $f(x) = x$ 无解）。「每点局部收缩」与「整体一致收缩」的差别就是这条定理的生死线。

⭐ 压缩 $\implies$ 一致连续（def.uniform-continuity），比连续强得多；而且 Lipschitz 常数就是 $q$ 。

⭐ 压缩映射是唯一一类「存在性证明顺带给出算法与误差估计」的定理（见 thm.banach-fixed-point）—— 这是它在分析里地位极高的原因：逆映射定理、隐函数定理、常微分方程的 Picard–Lindelöf 定理、Bellman 方程，全都把它当引擎。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 压缩映射原理推出

压缩 + 完备 $\implies$ 唯一不动点（含误差估计）

第一步：迭代列是 Cauchy 列。 任取 $x_0$ ，令 $x_{k+1} := Tx_k$ 。由压缩性
$d(x_{k+1}, x_{k+2}) \le q\, d(x_k, x_{k+1}) \le \cdots \le q^{k+1} d(x_0, x_1)$
于是对 $m > k$ ，用三角不等式与几何级数
$d(x_k, x_m) \le \sum_{j=k}^{m-1} d(x_j, x_{j+1}) \le \sum_{j=k}^{\infty} q^{j}\, d(x_0, x_1) = \frac{q^{k}}{1 - q}\, d(x_0, x_1)$
右端与 $m$ 无关且 $\to 0$ （ $k \to \infty$ ，因 $q < 1$ ），故 $(x_k)$ 是 Cauchy 列。
第二步：收敛（用完备性）。 $X$ 完备 $\implies$ 存在 $x^{\ast}$ 使 $x_k \to x^{\ast}$ 。
第三步： $x^{\ast}$ 是不动点。 $T$ 是压缩故连续（Lipschitz），于是
$T x^{\ast} = T\bigl(\lim_k x_k\bigr) = \lim_k T x_k = \lim_k x_{k+1} = x^{\ast}$
第四步：唯一。 若 $Tx = x$ 、 $Ty = y$ ，则 $d(x, y) = d(Tx, Ty) \le q\, d(x, y)$ ，故 $(1 - q) d(x, y) \le 0$ ，因 $1 - q > 0$ 得 $d(x, y) = 0$ ，即 $x = y$ 。
第五步：误差估计。 在第一步的不等式中令 $m \to \infty$ （ $d$ 连续）得先验估计；后验估计由 $d(x_k, x^{\ast}) \le d(x_k, x_{k+1}) + d(x_{k+1}, x^{\ast}) \le q\, d(x_{k-1}, x_k) + q\, d(x_k, x^{\ast})$ 整理即得。∎

⭐ 证明结构值得背下来：先造 Cauchy 列 $\to$ 用完备性取极限 $\to$ 用连续性验证不动点 $\to$ 用 $1 - q > 0$ 得唯一。四处用到的性质恰好是四个假设，一个都不多。

谁指向它（入边）

定义引用 1

距离空间 → 本页定义引用

压缩映射定义在度量空间上（只用到距离，不需要线性结构）。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 9
Zeidler, Nonlinear Functional Analysis I, Ch. 1

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