赋范空间

赋范空间（Normed Space）

def.normed-space · 定义 · 泛函 · 范数

陈述

设 $V$ 是 $K$ -向量空间（ $K = \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ）。映射 $\|\cdot\| : V \to \mathbb{R}$ 叫 $V$ 上的范数，当且仅当对一切 $v, w \in V$ 、 $c \in K$ ：

\|v\| \ge 0, \qquad \|v\| = 0 \iff v = 0; \qquad \|cv\| = |c|\,\|v\|; \qquad \|v + w\| \le \|v\| + \|w\|

配了范数的 $V$ 叫赋范空间。它按 $d(v, w) := \|v - w\|$ 成为度量空间，于是「收敛」「连续」「完备」「紧」这些说法全都继承过来。

⭐ 范数是「长度」的公理化。三条公理里只有三角不等式不是逐点的 —— 它管的是「能不能绕路」，也正是它把范数与凸性绑在一起（单位球是凸的）。

⭐ 与内积的关系是单向的：内积 $\implies$ 范数（def.induced-norm），但范数来自内积当且仅当满足平行四边形法则 $\|v+w\|^{2} + \|v-w\|^{2} = 2\|v\|^{2} + 2\|w\|^{2}$ 。所以「有长度」比「有夹角」弱。

⚠ 有限维时所有范数等价（诱导同一个拓扑、同一套收敛列）；无限维则不然 —— 这正是泛函分析开始变难的地方。

⭐ 本图在凝聚态那一片另有 def.semi-normed-ab-group（半范数阿贝尔群）：那里的系数不是向量空间而是拓扑阿贝尔群，所以只能要半范数。