隐函数定理

与有限维版本（imp.implicit-function）逐步对应。

第一步：$\Phi$ 仍是 $C^{1}$。 $\Phi(x, y) := (x, F_0(x, y))$ 是 $E \times F \to E \times G$ 的 $C^{1}$ 映射（两个分量都是 $C^{1}$）。

第二步：$D\Phi(a,b)$ 是拓扑同构。 块矩阵 $\begin{pmatrix} I_E & 0 \\ D_xF_0 & D_yF_0 \end{pmatrix}$ 与它的逆

都是良定义且有界的（$D_yF_0$ 拓扑同构 $\implies$ 逆有界；块上三角的有界性由范数估计直接给出）。故 $D\Phi(a,b)$ 拓扑同构。

第三步：用 Banach 版逆映射定理（thm.inverse-function-banach）得到局部逆 $\Theta$，它同样保持第一个分量不变，取 $g(x) := \theta(x, 0)$ 即得。

第四步：$Dg$ 的公式由对 $F_0(x, g(x)) = 0$ 求导得到，与有限维一致。∎

固定 $a \in U$，记 $r := \operatorname{rank} Df(a)$。

第一步：选主元并在定义域上换坐标。 $Df(a)$ 有某个 $r \times r$ 子式非零。不妨设前 $r$ 个坐标上的主子式非零（否则先重排坐标 —— 那是线性同构，不影响结论）。把 $x$ 拆成 $(x', x'') \in \mathbb{R}^{r} \times \mathbb{R}^{n-r}$，$f$ 拆成 $(f', f'') \in \mathbb{R}^{r} \times \mathbb{R}^{m-r}$。则 $D_{x'} f'(a)$ 可逆。

第二步：把 $f'$ 当成新坐标。 令 $\Phi(x', x'') := \bigl( f'(x', x''),\ x'' \bigr)$。它的导数在 $a$ 处是块矩阵 $\begin{pmatrix} D_{x'}f' & D_{x''}f' \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix}$，行列式 $= \det D_{x'}f' \ne 0$，故由逆映射定理（thm.inverse-function）$\Phi$ 在 $a$ 附近是 $C^{1}$ 坐标变换。在 $\Phi$ 坐标下（记新坐标仍为 $(y', y'')$，其中 $y' = f'(x',x'')$、$y'' = x''$），$\Phi$ 把 $f$ 变成

其中 $\widehat f$ 的取值在 $\mathbb{R}^{m-r}$ 里。这一步用掉了「$f'$ 的前 $r$ 个分量可以当坐标」这个事实。

第三步：$\widehat f$ 不依赖 $y''$。 由常秩假设，$D(f\circ\Phi^{-1})$ 在每点秩恒为 $r$；而它的前 $r$ 行是 $(I_r\ \ 0)$（因为第一分量就是 $y'$），于是后 $m - r$ 行必须是前 $r$ 行的线性组合。设后 $m-r$ 行的第一块为 $D_{y'}\widehat f$，则

（若某点 $D_{y''}\widehat f \ne 0$，则该点的秩 $> r$，与常秩矛盾。）于是 $\widehat f$ 在连通邻域上只依赖 $y'$：$\widehat f = h(y')$。

第四步：再用一次逆映射定理把 $h$ 拉直。 $m - r$ 个分量 $\widehat f_1, \ldots, \widehat f_{m-r}$ 由第二步的秩条件知它们在 $y' = a'$ 处的 Jacobi 矩阵秩为 $m - r$（否则整体秩会超过 $r$）；重排后可设 $h$ 的前 $m-r$ 个分量构成满秩。在值域上取坐标变换 $\psi(y', z', z'') := (y',\ h_1(y'), \ldots, h_{m-r}(y'),\ z'')$，其导数可逆（块结构同上），于是 $\psi \circ f \circ \Phi^{-1}$ 就是 $(y', y'') \mapsto (y', 0, \ldots, 0)$。

第五步：整理。 把 $\varphi := \Phi^{-1}$（定义域坐标）、$\psi$（值域坐标）代入即得结论。∎

设 $c$ 是正则值、$x_0 \in f^{-1}(c)$。要在 $x_0$ 附近把 $f^{-1}(c)$ 写成图。

第一步：选主元。 $Df(x_0)$ 是 $m \times n$ 满秩矩阵，故有某个 $m \times m$ 子式非零。重排坐标使后 $m$ 个坐标对应的子式非零（把 $x$ 写成 $(u, v) \in \mathbb{R}^{n-m} \times \mathbb{R}^{m}$）。

第二步：用隐函数定理解出 $v$。 令 $F(u, v) := f(u, v) - c$。则 $F(x_0) = 0$，且 $D_vF(x_0)$ 就是上一步那个可逆的 $m \times m$ 块。由隐函数定理（thm.implicit-function），存在 $u_0$ 的邻域 $V$ 与唯一 $C^{1}$ 映射 $g : V \to \mathbb{R}^{m}$ 使 $g(u_0) = v_0$ 且 $F(u, g(u)) = 0$。

第三步：认出图。 由第二步，

右边是 $C^{1}$ 函数的图，即 $n - m$ 维子流形；而 $x_0$ 是它的内点。每个 $x_0 \in f^{-1}(c)$ 都能这样处理，所以 $f^{-1}(c)$ 是 $n - m$ 维子流形。∎

第一步：造 $\Phi$。 令

则 $\Phi$ 是 $C^{1}$，$\Phi(a, b) = (a, 0)$。

第二步：$D\Phi(a,b)$ 可逆。 写成块矩阵（按 $x$ 与 $y$ 分块）：

这是块上三角矩阵，故 $\det D\Phi(a,b) = \det D_y F(a,b) \ne 0$。

第三步：用逆映射定理。 存在 $(a, b)$ 的邻域 $\widetilde U$ 与 $(a, 0)$ 的邻域 $\widetilde W$，使 $\Phi|_{\widetilde U} : \widetilde U \to \widetilde W$ 是 $C^{1}$ 双射，逆记 $\Theta$，且 $D\Theta = (D\Phi)^{-1}$。

第四步：逆必须有形状 $\Theta(x, z) = (x, \theta(x, z))$。 因为 $\Phi$ 保持第一个分量不变（第一坐标就是 $x$），故 $\Theta$ 也保持第一分量不变。

第五步：取 $g(x) := \theta(x, 0)$。 由 $\Phi \circ \Theta = \mathrm{id}$ 得 $F\bigl(x,\ \theta(x, 0)\bigr) = 0$，且 $\Theta(a, 0) = (a, b)$ 给出 $g(a) = b$。存在 $a$ 的开邻域 $V$ 使 $(x, 0) \in \widetilde W$（$\widetilde W$ 开）。$g$ 是 $C^{1}$ 的复合，故 $C^{1}$。

第六步：唯一性与 $Dg$ 的公式。 若 $\widehat g$ 也在 $V$ 上满足 $\widehat g(a) = b$、$F(x, \widehat g(x)) = 0$，则 $(x, \widehat g(x))$ 是 $(x, 0)$ 在 $\Phi$ 下的原像，由 $\Phi$ 在 $\widetilde U$ 上单射得 $\widehat g = g$。最后对 $F(x, g(x)) = 0$ 两边求导并用链式法则：$D_xF + D_yF \cdot Dg = 0$，解出 $Dg = -(D_yF)^{-1} D_xF$。∎