Morse 引理

定理（Morse 引理）：非退化临界点附近的局部标准形

定理
依赖深度 layer 24
分析学
多元微分

thm.morse-lemma · 定理 · 微积分 · 流形

陈述

设 $U \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 开， $f : U \to \mathbb{R}$ 是 $C^{k+2}$ （ $k \ge 1$ ）， $a$ 是 $f$ 的非退化临界点（即 $\nabla f(a) = 0$ 且 $\det H_f(a) \ne 0$ ）。记 $H_f(a)$ 的负特征值个数为 $k$ 。则存在 $a$ 附近的光滑坐标 $u = (u_1, \ldots, u_n)$ （ $u(a) = 0$ ）使

f = f(a) - u_1^{2} - \cdots - u_k^{2} + u_{k+1}^{2} + \cdots + u_n^{2}

$k$ 叫 $f$ 在 $a$ 的 Morse 指数。

说明

⭐ 这是一条分类定理：非退化临界点附近，函数只由一个数字 $k$ 决定局部形状。于是「鞍点」不再是模糊的日常词，而是 $k$ 的一个取值（ $k = 0$ 极小、 $k = n$ 极大、 $0 < k < n$ 鞍点）。

⭐ 证明两步：

把 $f(x) - f(a)$ 写成 $\sum_{i,j} h_{ij}(x)\,(x_i - a_i)(x_j - a_j)$ ，其中 $h_{ij}$ 光滑且 $h_{ij}(a) = \frac{1}{2}\partial_i\partial_j f(a)$ —— 做法是对 $\varphi(t) = f(a + t(x-a))$ 用一维 Taylor 并把余项写成积分 $\int_0^1 (1-t)\,\varphi''(t)\,dt$ ，于是 $h_{ij}$ 显式地是积分、自动光滑；
对光滑变化的对称矩阵 $h(x)$ 做配方（Gram–Schmidt 的光滑版本），把 $\sum h_{ij} y_i y_j$ 化成 $\pm$ 平方和。

⭐ 第 2 步里负号个数不变 —— 这正是 Sylvester 惯性定律（def.quadratic-form 那一带的二次型理论），而且它保证 $k$ 与坐标选取无关。

⚠ 「非退化」不能去： $f = x^{4}$ 在原点是退化临界点，局部形状既不是 $+u^{2}$ 也不是 $-u^{2}$ ，Morse 引理不适用。

⭐ 用途：Morse 理论（用临界点与指数重建流形的同调）—— 这是微积分通向 homology 那片星空的又一条路。

谁指向它（入边）

推出 1

多元 Taylor 公式、混合偏导相等 ⟹ 本页推出

积分形式的 Taylor 余项 + 对称矩阵的光滑配方 $\implies$ Morse 引理

第一步：把一阶 Taylor 余项写成积分（避开「 $'\theta$ 依赖 $h$ 」这个坑）。 对 $\varphi(t) := f(a + t(x - a))$ 用带积分余项的 Taylor 公式，
$f(x) - f(a) = \varphi(1) - \varphi(0) = \varphi'(0) + \int_0^1 (1 - t)\,\varphi''(t)\,dt = 0 + \sum_{i,j} h_{ij}(x)\,(x_i - a_i)(x_j - a_j)$
其中（ $\varphi'(0) = Df(a)(x-a) = 0$ 用了临界性）
$h_{ij}(x) := \int_0^1 (1 - t)\, \partial_i\partial_j f\bigl( a + t(x - a) \bigr)\, dt$
第二步： $h_{ij}$ 的性质。 积分号下求导说明 $h_{ij}$ 与 $f$ 有同样的光滑性； $h_{ij}(a) = \frac{1}{2}\partial_i\partial_j f(a)$ ；由 thm.mixed-partials， $h_{ij} = h_{ji}$ （ $f \in C^{2}$ 即可）。记对称矩阵函数 $h(x) := (h_{ij}(x))$ 。于是
$f(x) - f(a) = (x - a)^{\mathsf{T}}\, h(x)\, (x - a)$
第三步：光滑配方（把 $h(x)$ 对角化）。 在 $a$ 附近 $h(x)$ 非退化（因 $h(a) = \frac{1}{2}H_f(a)$ 可逆，可逆是开条件）。用光滑的 Gram–Schmidt / 配方法对对称矩阵函数作合同变换：逐步消去非对角项，得到
$f(x) - f(a) = \sum_{i=1}^{n} \varepsilon_i\, \sigma_i(x)\, \bigl( y_i(x) \bigr)^{2}, \qquad \varepsilon_i \in \{\pm 1\}$
其中 $\sigma_i(x) > 0$ 光滑、 $y_i(x)$ 是光滑函数且 $D y(a)$ 可逆（每一步的变换矩阵在 $a$ 附近可逆）。
第四步：把 $\sigma_i$ 吸收进坐标。 令 $u_i := \sqrt{\varepsilon_i\sigma_i(x)}\; y_i(x)$ 。因 $\sigma_i > 0$ ， $u$ 是 $a$ 附近的光滑坐标（ $Du(a)$ 可逆），而
$f - f(a) = \sum_i \varepsilon_i u_i^{2}$
第五步： $\varepsilon_i$ 的符号个数 = Morse 指数。 由 $h(a) = \frac{1}{2}H_f(a)$ 与合同变换保惯性（Sylvester 惯性定律），负号的个数正是 $H_f(a)$ 的负特征值个数 $k$ 。∎

⭐ 第一步的积分写法是这条证明的技术核心：它把 $o(\|x-a\|)$ 级别的余项变成了一个显式光滑的矩阵函数，于是配方可以光滑地进行。若用 Lagrange 余项， $\theta$ 依赖 $x$ ，配方就不是光滑的了。

参考

Milnor, Morse Theory, §2
Guillemin–Pollack, Differential Topology, §1

同一星团的其他概念 25 个

继续

在星图里打开「Morse 引理」　·　全部 910 个概念　·　 Markdown 原文　·　读图指南与记号表