Jacobi 矩阵

Jacobi 矩阵（Jacobian Matrix）

定义
依赖深度 layer 19
分析学
多元微分

def.jacobian · 定义 · 微积分 · 线性代数

陈述

设 $U \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 开， $f = (f_1, \ldots, f_m) : U \to \mathbb{R}^{m}$ 在 $a$ 处各偏导都存在。 $f$ 在 $a$ 的 Jacobi 矩阵是

J_f(a) := \Bigl( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) \Bigr)_{\substack{1 \le i \le m \\ 1 \le j \le n}} \in M_{m \times n}(\mathbb{R})

若 $f$ 在 $a$ 可微，则 $J_f(a)$ 正是线性映射 $Df(a)$ 在标准基下的矩阵。

说明

⭐ 链式法则的矩阵形式就是矩阵乘法： $J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a))\, J_f(a)$ （thm.chain-rule-multi）。线性映射的复合对应矩阵乘法 —— 全微分做的就是把这条线性代数的事实搬进微积分。

⭐ 三个特殊情形值得记住：

$n = 1$ ： $J$ 是一列，即曲线的切向量；
$m = 1$ ： $J$ 是一行，即 $(\nabla f)^{\mathsf{T}}$ ；
$m = n$ ： $\det J_f(a)$ 是局部体积缩放因子（cor.jacobian-volume）。

⚠ 记号约定：有些书把 Jacobi 矩阵写成转置（把它们把 $Df$ 当列向量存）。本图一律行对应像空间坐标、列对应定义域坐标，于是链式法则是「从左往右乘」。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 多元链式法则推出

可微的定义 $\implies$ 链式法则（线性映射的复合）

记 $L := Df(a)$ 、 $M := Dg(b)$ （ $b = f(a)$ ）。由可微的定义存在函数 $\varepsilon, \eta$ 使
$f(a + h) = f(a) + L(h) + \varepsilon(h)\,\|h\|, \qquad \|\varepsilon(h)\| \to 0;$ $g(b + k) = g(b) + M(k) + \eta(k)\,\|k\|, \qquad \|\eta(k)\| \to 0.$
第一步：估计 $k := f(a+h) - f(a)$ 的大小。 由第一式
$\|k\| \le \bigl( \|L\| + \|\varepsilon(h)\| \bigr)\|h\| \le (\|L\| + 1)\,\|h\|$
对充分小的 $h$ 成立；特别地 $k \to 0$ （ $h \to 0$ ）。
第二步：代入。
$(g \circ f)(a + h) = g\bigl( b + k \bigr) = g(b) + M(k) + \eta(k)\,\|k\| = (g \circ f)(a) + (M \circ L)(h) + \underbrace{M\bigl(\varepsilon(h)\|h\|\bigr) + \eta(k)\,\|k\|}_{=: R(h)}$
第三步：证明 $R(h) = o(\|h\|)$ 。 第一项： $\|M(\varepsilon(h)\|h\|)\| \le \|M\|\,\|\varepsilon(h)\|\,\|h\| = o(\|h\|)$ 。第二项：由第一步 $\|k\| \le (\|L\|+1)\|h\|$ ，又 $k \to 0$ 故 $\|\eta(k)\| \to 0$ ，于是 $\|\eta(k)\|\,\|k\| \le \|\eta(k)\||(\|L\|+1)\|h\| = o(\|h\|)$ 。
两式相加得 $R(h) = o(\|h\|)$ 。于是 $g \circ f$ 在 $a$ 可微，且导数正是线性映射 $M \circ L = Dg(f(a)) \circ Df(a)$ （由全微分的唯一性）。取标准基写成矩阵即得 $J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a))J_f(a)$ 。∎

第三步是全部的技术内容：必须显式地把 $o(\|k\|)$ 换成 $o(\|h\|)$ 。直接写 $Dg(f(a)+h)$ 是错的，因为可微性是在「 $f$ 的像点附近」给的，不是在「 $a$ 附近」给的。

谁指向它（入边）

定义引用 2

可微与全微分 → 本页定义引用

Jacobi 矩阵是线性映射 $Df(a)$ 在标准基下的矩阵，所以要先有全微分。
矩阵 → 本页定义引用

Jacobi 矩阵是 $m \times n$ 矩阵（def.matrix 提供「矩阵」这个概念本身）。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 9
Spivak, Calculus on Manifolds, Ch. 2

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