偏导数

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 混合偏导相等推出
  一元中值定理用两次 $\implies$ 混合偏导可交换

  化归到 $n = 2$：只需证 $\partial_1\partial_2 f(a) = \partial_2\partial_1 f(a)$，其中 $a = (a_1, a_2)$。取 $h, k$ 使小方块 $[a_1, a_1+h] \times [a_2, a_2+k]$ 落在假设的邻域里。定义二阶差分

  $$\Delta(h, k) := f(a_1+h,\ a_2+k) - f(a_1+h,\ a_2) - f(a_1,\ a_2+k) + f(a_1,\ a_2)$$

  按第一种顺序：令 $\varphi(x) := f(x,\ a_2+k) - f(x,\ a_2)$。则 $\Delta = \varphi(a_1+h) - \varphi(a_1)$。对 $\varphi$ 用一维中值定理，存在 $\xi \in (a_1, a_1+h)$ 使

  $$\Delta = h\,\varphi'(\xi) = h\bigl[ \partial_1 f(\xi,\ a_2+k) - \partial_1 f(\xi,\ a_2) \bigr]$$

  再对 $y \mapsto \partial_1 f(\xi, y)$ 用一次一维中值定理，存在 $\eta \in (a_2, a_2+k)$ 使

  $$\Delta = h\,k\ \partial_2\partial_1 f(\xi,\ \eta)$$

  按第二种顺序：对称地（令 $\psi(y) := f(a_1+h, y) - f(a_1, y)$）得到存在 $\xi' \in (a_1, a_1+h)$、$\eta' \in (a_2, a_2+k)$ 使

  $$\Delta = h\,k\ \partial_1\partial_2 f(\xi',\ \eta')$$

  取极限：两式相除 $hk \ne 0$ 得

  $$\partial_2\partial_1 f(\xi, \eta) = \partial_1\partial_2 f(\xi', \eta')$$

  令 $h, k \to 0$：此时 $\xi, \xi' \to a_1$、$\eta, \eta' \to a_2$，由两个混合偏导在 $a$ 处连续，两边分别趋于 $\partial_2\partial_1 f(a)$ 与 $\partial_1\partial_2 f(a)$，故两者相等。∎

  ⚠ 连续性只用在最后一步（取极限）。这也解释了为什么去掉连续性就有反例 —— 中间那两个点 $(\xi, \eta)$ 与 $(\xi', \eta')$ 不同，没有连续性就没法把两个不同的点上的值拉到一起。

定义引用 2

• 方向导数 用到 本页定义引用

  方向导数是偏导的推广（取方向为任意向量 $v$ 而不是坐标向量 $e_j$）。

• Hessian 矩阵 用到 本页定义引用

  Hessian 的元素是二阶偏导 $\partial_i\partial_j f$。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 导数 → 本页定义引用

  偏导数就是一个一元导数：把其余坐标固定，只对第 $j$ 个坐标求导。