多元 Taylor 公式

由 $\nabla f(a) = 0$ 与 $k = 2$ 的 Taylor 公式（thm.taylor-multi）：

记 $H := H_f(a)$。由 thm.spectral-theorem，$H$ 有正交标准特征基，特征值 $\lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n$，于是对一切 $h$

正定情形（$\lambda_1 > 0$）：余项 $o(\|h\|^{2})$ 满足「存在 $\rho > 0$，$\|h\| < \rho$ 时 $|o(\|h\|^{2})| \le \frac{\lambda_1}{4}\|h\|^{2}$」。于是

即 $a$ 是局部严格极小点。

负定情形：把 $f$ 换成 $-f$（注意 $\nabla(-f) = -\nabla f = 0$、$H_{-f} = -H_f$ 正定）即得局部严格极大点。

不定情形（有 $\lambda > 0$ 与 $\mu < 0$）：取 $v_{+}$、$v_{-}$ 为对应的特征向量并单位化。沿 $h = tv_{+}$（$t \ne 0$ 小）有 $h^{\mathsf{T}}Hh = \lambda t^{2} > 0$，故 $f(a+tv_{+}) > f(a)$；沿 $h = tv_{-}$ 有 $h^{\mathsf{T}}Hh = \mu t^{2} < 0$，故 $f(a+tv_{-}) < f(a)$。任意小的邻域里两种情况都出现，所以 $a$ 既非局部极小也非局部极大。∎

半定 / 退化：不做判断 —— 结论需要 $k > 2$ 的信息（反例见节点说明：$x^{4}+y^{4}$ 与 $x^{4}-y^{4}$ 在原点同为 $H = 0$，结论相反）。

第一步：把一阶 Taylor 余项写成积分（避开「$'\theta$ 依赖 $h$」这个坑）。 对 $\varphi(t) := f(a + t(x - a))$ 用带积分余项的 Taylor 公式，

其中（$\varphi'(0) = Df(a)(x-a) = 0$ 用了临界性）

第二步：$h_{ij}$ 的性质。 积分号下求导说明 $h_{ij}$ 与 $f$ 有同样的光滑性；$h_{ij}(a) = \frac{1}{2}\partial_i\partial_j f(a)$；由 thm.mixed-partials，$h_{ij} = h_{ji}$（$f \in C^{2}$ 即可）。记对称矩阵函数 $h(x) := (h_{ij}(x))$。于是

第三步：光滑配方（把 $h(x)$ 对角化）。 在 $a$ 附近 $h(x)$ 非退化（因 $h(a) = \frac{1}{2}H_f(a)$ 可逆，可逆是开条件）。用光滑的 Gram–Schmidt / 配方法对对称矩阵函数作合同变换：逐步消去非对角项，得到

其中 $\sigma_i(x) > 0$ 光滑、$y_i(x)$ 是光滑函数且 $D y(a)$ 可逆（每一步的变换矩阵在 $a$ 附近可逆）。

第四步：把 $\sigma_i$ 吸收进坐标。 令 $u_i := \sqrt{\varepsilon_i\sigma_i(x)}\; y_i(x)$。因 $\sigma_i > 0$，$u$ 是 $a$ 附近的光滑坐标（$Du(a)$ 可逆），而

第五步：$\varepsilon_i$ 的符号个数 = Morse 指数。 由 $h(a) = \frac{1}{2}H_f(a)$ 与合同变换保惯性（Sylvester 惯性定律），负号的个数正是 $H_f(a)$ 的负特征值个数 $k$。∎

⚠ 这是提纲，不是完整证明 —— 完整证明相当重，节点说明里已声明。以下只把骨架摆清楚，每一步都能在标准参考书中找到细节。

情形 $m = 1$：对 $n$ 归纳。 把 $U$ 用可数多个边长 $\delta$ 的闭方块盖住，在每个方块上对 $f$ 用带 Lagrange 余项的一阶 Taylor：

若 $x$ 是临界点（$Df(x) = 0$），则 $f$ 在该方块上的像被压进「以 $f(x)$ 为心、半径 $C\delta^{2}$ 的区间」；把它再按 $x_1$ 切片，对每个切片用 $(n-1)$ 维的归纳假设（$f$ 在切片上的临界点集零测），再用 Fubini 把零测性从切片拼回整体。取 $\delta \to 0$ 得证。

一般 $m$：Whitney 分解。 令 $S_i := \{ x : \operatorname{rank} Df(x) = i \}$（$i = 0, 1, \ldots, m-1$），临界点集是 $\bigcup_i S_i$。要证每个 $f(S_i)$ 零测。对 $i$ 从大到小归纳（外层对 $m$ 归纳）：

• $S_i$ 中「$f$ 在该点局部 $i$ 维平坦」的那部分：把 $S_i$ 局部写成 $\mathbb{R}^{i}$ 上的图（秩定理思想），于是 $f|_{S_i}$ 局部是 $i$ 维映射，对 $i < m$ 用外层归纳假设（注意此时 $\operatorname{rank} <$ 目标维数，直接套 $m' = i$ 的归纳）；
• 其余部分：逐层剥去低维子集，每一层用 Fubini 降到 $n - 1$ 维，再用内层对 $n$ 的归纳。

收敛性： 上面两处归纳都是「对 $(n, m)$ 的良序」进行的（按 $n + m$ 或按字典序），每一层都把问题降到更小的 $(n', m')$，有限步终止。

为什么需要 $k > n - m$： 上面 $m = 1$ 那一层用了二阶 Taylor 余项 $O(\|h\|^{2})$；一般情形每降一维就多要一阶导数，累加需要 $k^{(m)} > n - m$ 阶。Whitney 的 $C^{1}$ 反例正说明这个门槛不可省。

细节：Milnor《Topology from the Differentiable Viewpoint》§3；Sternberg《Lectures on Differential Geometry》§II.3；Guillemin–Pollack §2。∎（提纲）

第一步：沿线段化归到一元。 令 $\gamma(t) := a + th$、$\varphi(t) := f(\gamma(t))$，$t \in [0,1]$。用链式法则逐次求导可得

其中 $D^{j}f$ 是 $j$ 重线性型（$j = 2$ 时即对称双线性型 $D^{2}f(a)(h,h) = h^{\mathsf{T}} H_f(a) h$）。

第二步：一元 Taylor。 对 $\varphi$ 在 $[0,1]$ 上用带 Lagrange 余项的一元 Taylor 公式（thm.taylor），存在 $\theta \in (0,1)$ 使

第三步：展开成多重指标。 把 $D^{j}f(a)(h, \ldots, h)$ 按多重指标展开：$j$ 重线性型在 $(h, \ldots, h)$ 上的取值是

代入第二步即得节点里写的形式（余项同样按 $|\alpha| = k+1$ 展开）。

第四步：估计余项。 余项每项含 $k+1$ 个 $h$ 的分量，且 $D^{\alpha}f$ 在有界闭球上连续（故有界），于是 $|R_k(h)| \le C\|h\|^{k+1} = O(\|h\|^{k+1})$。∎