梯度

梯度（Gradient）

def.gradient · 定义 · 微积分 · 多元

陈述

设 U⊆RnU \subseteq \mathbb{R}^{n} 开，f:U→Rf : U \to \mathbb{R} 在 aa 可微。则 Df(a)Df(a) 是 Rn→R\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} 的线性映射，即对偶空间 (Rn)∗(\mathbb{R}^{n})^{\ast} 中的元素。由 Rn\mathbb{R}^{n} 的标准内积与 Riesz 表示，存在唯一的 ∇f(a)∈Rn\nabla f(a) \in \mathbb{R}^{n} 使

Df(a)(v)=⟨∇f(a), v⟩(v∈Rn)Df(a)(v) = \langle \nabla f(a),\ v \rangle \qquad (v \in \mathbb{R}^{n})

它叫 ff 在 aa 的梯度。在标准内积与标准基下

∇f(a)=(∂1f(a),…,∂nf(a))T\nabla f(a) = \bigl( \partial_1 f(a), \ldots, \partial_n f(a) \bigr)^{\mathsf{T}}

说明

⭐ 一句话：梯度是把对偶向量用内积「搬回来」的产物。Df(a)Df(a) 天生住在对偶空间 (Rn)∗(\mathbb{R}^{n})^{\ast} 里，而「搬回来」需要一个内积 —— 换个内积，同一个 Df(a)Df(a) 就给出不同的梯度向量。

⭐ 这也是微分几何里必须区分 dfdf（余切向量）与 ∇f\nabla f（切向量）的原因：dfdf 不依赖任何度量，∇f\nabla f 依赖。

⭐ 几何内容（都靠 Cauchy–Schwarz，thm.cauchy-schwarz）：

⚠ 「梯度指向上升最快」只在标准内积下成立；换了内积，「最快」要按那个内积重新度量（这也是最优化里预处理 / 牛顿法的出发点）。

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

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