内积

内积与内积空间（Inner Product Space）

定义
依赖深度 layer 9
抽象代数
内积空间与正交性

def.inner-product · 定义 · 线性代数 · 内积

陈述

设 $V$ 是 $K$ -向量空间（ $K = \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ）。映射

\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \longrightarrow K

叫 $V$ 上的内积，当且仅当对一切 $u, v, w \in V$ 、 $c \in K$ ：

对第一变元线性： $\langle u + c\,w, v \rangle = \langle u, v \rangle + c\langle w, v \rangle$ ；
共轭对称： $\langle v, u \rangle = \overline{\langle u, v \rangle}$ （ $K = \mathbb{R}$ 时就是对称）；
正定： $\langle v, v \rangle \ge 0$ ，且 $\langle v, v \rangle = 0 \iff v = 0$ 。

配上内积的 $V$ 叫内积空间。实数情形下内积就是正定对称双线性型。

标准例子： $K^{n}$ 上的内积 $\langle x, y \rangle := \sum_i \overline{x_i}\, y_i$ 。

说明

⭐ 复数情形下不能要求双线性：若 $\langle u, v \rangle$ 对两个变元都线性，则 $\langle i v, i v \rangle = i^{2}\langle v, v \rangle = -\langle v, v \rangle$ 恒为负，与正定矛盾。所以复数情形只能是一个变元线性、另一个共轭线性（叫半双线性或 sesquilinear）。

⭐ 哪一边写成共轭是约定：本图取「第一变元线性、第二变元共轭线性」的物理约定（与图上别处一致）。换个约定所有公式共轭一下，不改变内容。

⚠ 正定性是内积与「一般双线性型」的分水岭：正定才有「长度」可言，才有 Cauchy–Schwarz、才有正交投影。丢掉正定（只留对称双线性）得到的是二次型那一套（见 def.quadratic-form），丢掉对称得到的是辛形式。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Cauchy–Schwarz推出

内积的正定性 $\implies$ Cauchy–Schwarz

若 $v = 0$ 结论平凡。设 $v \ne 0$ ，对一切 $t \in K$ 有
$0 \le \|u - t v\|^{2} = \|u\|^{2} - \bar{t}\langle u, v\rangle - t\,\overline{\langle u, v\rangle} + |t|^{2}\|v\|^{2}$
取 $t := \dfrac{\langle v, u \rangle}{\|v\|^{2}}$ （则 $\bar t = \overline{\langle v,u\rangle}/\|v\|^{2} = \langle u, v\rangle/\|v\|^{2}$ ），代入整理得
$0 \le \|u\|^{2} - \frac{|\langle u, v\rangle|^{2}}{\|v\|^{2}} \quad\Longrightarrow\quad |\langle u, v\rangle|^{2} \le \|u\|^{2}\|v\|^{2}$
开方即得结论。
等号条件： $\|u - tv\|^{2} = 0 \iff u = tv$ ，即线性相关。∎
由此也得三角不等式： $\|u+v\|^{2} = \|u\|^{2} + 2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle + \|v\|^{2} \le \|u\|^{2} + 2\|u\|\|v\| + \|v\|^{2} = (\|u\|+\|v\|)^{2}$ 。

证明的关键是「对一切 $t$ 都非负」：这给了一个关于 $t$ 的二次函数恒非负，于是它的判别式 $\le 0$ —— 这正是 Cauchy–Schwarz。

定义引用 4

诱导范数与距离用到本页定义引用

范数定义为 $\sqrt{\langle v, v\rangle}$ ，合法性来自内积的正定性。
正交用到本页定义引用

正交就是「内积为零」——定义里只用到内积这一个词。
伴随算子用到本页定义引用

伴随算子的定义是一条内积恒等式，存在唯一性靠内积的完备性（Riesz 表示）。
等距与正交变换用到本页定义引用

等距的定义就是保持内积（等价地保持范数）。

谁指向它（入边）

定义引用 1

向量空间的基 → 本页定义引用

内积是加在向量空间上的额外结构：三条公理里的第一条就是「对第一变元线性」，它用的就是 $V$ 的运算。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 8
Roman, Advanced Linear Algebra, Ch. 11

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