谱定理（实对称）

1. 自伴的情形：复自伴算子（Hermite）的实谱定理版本：把 $V$ 看作实向量空间，$T$ 作为实算子是实对称的，由上一条得到实特征值与正交分解；再把实结构复化即得复情形。
2. 正规的情形：$T$ 正规时写 $T = A + iB$，其中 $A := (T + T^{\ast})/2$、$B := (T - T^{\ast})/(2i)$ 都自伴；正规性等价于 $AB = BA$（直接展开 $T^{\ast}T = TT^{\ast}$ 即得）。
3. 由 $AB = BA$，它们同时可正交对角化：对 $A$ 的每个特征子空间 $E_\lambda$，由 $AB = BA$ 得 $B(E_\lambda) \subseteq E_\lambda$；在 $E_\lambda$ 上对 $B$ 用实谱定理（同理复化），把所有这样的标准正交基拼起来即得。
4. 于是 $T$ 在同一组标准正交基下对角（对角元 $\lambda_j + i\mu_j$）。
5. 三条等价：由对角形直接读出 —— $T^{\ast} = T \iff$ 所有对角元实；$T$ 酉 $\iff |\lambda|=1$；投影 $\iff$ 特征值 $\in\{0,1\}$ 且自伴。∎

设 $A$ 实对称。

($\Longleftarrow$) 设所有顺序主子式 $D_k > 0$。对 $k$ 归纳证明 $A$ 的前 $k$ 阶主子矩阵正定：$k = 1$ 显然（$a_{11} = D_1 > 0$）。归纳步：把 $A_k$ 分块 $\begin{pmatrix} A_{k-1} & b \\ b^{\mathsf{T}} & a_{kk}\end{pmatrix}$，由 $D_{k} = D_{k-1}\cdot(a_{kk} - b^{\mathsf{T}}A_{k-1}^{-1}b) > 0$（分块行列式公式）与归纳假设 $D_{k-1} > 0$ 得 Schur 补 $a_{kk} - b^{\mathsf{T}}A_{k-1}^{-1}b > 0$；由 Schur 补正定 $\implies A_k$ 正定。

($\implies$) 若 $A$ 正定，则每个左上角主子矩阵 $A_k$ 也正定（对 $A_k$ 上的 $x$ 补零得 $x^{\mathsf{T}}A_kx = \tilde x^{\mathsf{T}}A\tilde x > 0$）。由谱定理 $A_k = Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}$（$\Lambda$ 对角且对角元 $> 0$），故 $D_k = \det A_k = \prod_i \lambda_i > 0$。∎

设 $A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$，秩 $r$。

1. $A^{\mathsf{T}}A \in M_n$ 是对称半正定的（$x^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}Ax = \|Ax\|^{2} \ge 0$），故由谱定理存在标准正交基 $v_1, \ldots, v_n$ 与 $\lambda_1 \ge \cdots \ge \lambda_n \ge 0$ 使 $A^{\mathsf{T}}A v_i = \lambda_i v_i$。
2. 令 $\sigma_i := \sqrt{\lambda_i}$，设 $\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0 = \sigma_{r+1} = \cdots$。对 $i \le r$ 令 $u_i := A v_i / \sigma_i$，则 $\|u_i\| = 1$ 且 $\langle u_i, u_j\rangle = \delta_{ij}$（用 $\langle Av_i, Av_j\rangle = \lambda_j\delta_{ij}$）。
3. 把 $u_1, \ldots, u_r$ 扩充成 $\mathbb{R}^{m}$ 的标准正交基 $u_1, \ldots, u_m$；把 $v_1, \ldots, v_n$ 补全成标准正交基。则 $Av_i = \sigma_i u_i$（$i \le r$）且 $Av_i = 0$（$i > r$，因为 $\|Av_i\|^{2} = \lambda_i = 0$）。
4. 以 $v_i$ 为定义域基、$u_i$ 为值域基写出矩阵：$A$ 在这两组基下是 $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r, 0, \ldots)$，即 $A = U\Sigma V^{\mathsf{T}}$。∎

设 $T$ 是有限维实内积空间上的自伴算子。

1. 存在实特征值：单位球面 $S := \{v : \|v\| = 1\}$ 是紧集，函数 $f(v) := \langle Tv, v\rangle$ 连续，故在某点 $v_0$ 取到最大值 $\lambda$（最值定理）。用 Lagrange 乘子（或直接对 $v_0$ 附近扰动求导）可得 $Tv_0 = \lambda v_0$：即在约束 $\|v\|^{2} = 1$ 下 $f$ 的极值点满足 $\nabla f = \lambda \nabla(\|v\|^{2})$，而两个梯度分别是 $2Tv_0$ 与 $2v_0$。于是 $\lambda$ 是特征值，且由 $\lambda = \langle Tv_0, v_0\rangle \in \mathbb{R}$ 知它是实数。
2. 特征子空间的不变性：$U := E_\lambda$ 是 $T$-不变的；由自伴性，$U^{\perp}$ 也是 $T$-不变的：若 $w \perp U$，则对 $u \in U$，$\langle u, Tw\rangle = \langle Tu, w\rangle = \langle \lambda u, w\rangle = \lambda\langle u, w\rangle = 0$，即 $Tw \perp U$。
3. 归纳：$T|_{U^{\perp}}$ 仍自伴，对 $\dim U^{\perp} < \dim V$ 用归纳假设，得 $U^{\perp} = E_{\lambda_2}\oplus\cdots$（两两正交）。于是 $V = E_{\lambda} \oplus U^{\perp}$ 是所有特征子空间的正交直和。
4. 在每个 $E_{\lambda_i}$ 里取标准正交基（Gram–Schmidt），拼起来就是 $V$ 的标准正交基，$T$ 在其中是对角阵。∎