谱定理（复正规）

推论：复正规算子可酉对角化

推论
依赖深度 layer 21
抽象代数
内积空间与正交性

cor.spectral-normal · 推论 · 线性代数 · 内积 · 谱

陈述

设 $V$ 是有限维复内积空间， $T : V \to V$ 正规（ $T^{\ast}T = TT^{\ast}$ ）。则存在 $V$ 的标准正交基使 $T$ 是对角阵：

T = U \Lambda\, U^{\dagger}, \qquad U^{\dagger}U = I,\ \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

并且：

$T$ 自伴 $\iff$ 所有特征值实；
$T$ 酉 $\iff$ 所有特征值模长为 1；
$T$ 是正交投影 $\iff$ 特征值全在 $\{0, 1\}$ 中且 $T$ 自伴。

说明

⭐ 这三条「 $T$ 的性质 $\iff$ 特征值的性质」是谱定理最有用的副产品：把一个算子的问题翻译成一组数的问题。

⭐ 复正规是实对称与实正交的共同推广：只要在复域上做，两者都能对角化；在实数域上就只能对对称的那些做。

⚠ 投影那条只在自伴时成立：一般的幂等算子（射影）不能酉对角化。

谁指向它（入边）

推出 1

谱定理（实对称）、正规算子 ⟹ 本页推出

实谱定理 + 复化 $\implies$ 复正规可酉对角化
1. 自伴的情形：复自伴算子（Hermite）的实谱定理版本：把 $V$ 看作实向量空间， $T$ 作为实算子是实对称的，由上一条得到实特征值与正交分解；再把实结构复化即得复情形。
2. 正规的情形： $T$ 正规时写 $T = A + iB$ ，其中 $A := (T + T^{\ast})/2$ 、 $B := (T - T^{\ast})/(2i)$ 都自伴；正规性等价于 $AB = BA$ （直接展开 $T^{\ast}T = TT^{\ast}$ 即得）。
3. 由 $AB = BA$ ，它们同时可正交对角化：对 $A$ 的每个特征子空间 $E_\lambda$ ，由 $AB = BA$ 得 $B(E_\lambda) \subseteq E_\lambda$ ；在 $E_\lambda$ 上对 $B$ 用实谱定理（同理复化），把所有这样的标准正交基拼起来即得。
4. 于是 $T$ 在同一组标准正交基下对角（对角元 $\lambda_j + i\mu_j$ ）。
5. 三条等价：由对角形直接读出 —— $T^{\ast} = T \iff$ 所有对角元实； $T$ 酉 $\iff |\lambda|=1$ ；投影 $\iff$ 特征值 $\in\{0,1\}$ 且自伴。∎
第 2 步的「正规 $\iff$ $AB$ 交换」是这条推论的核心：复正规算子 = 一对交换的自伴算子，于是问题化归到实谱定理。

参考

Roman, Advanced Linear Algebra, Ch. 11

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