正交

正交与正交分解

定义
依赖深度 layer 10
抽象代数
内积空间与正交性

def.orthogonality · 定义 · 线性代数 · 内积

陈述

设 $V$ 是内积空间。

$u \perp v$ （称 $u$ 与 $v$ 正交） $\iff \langle u, v \rangle = 0$ ；
$S \perp T$ ： $S$ 中每个向量与 $T$ 中每个向量正交；
$\{v_1, \ldots, v_k\}$ 叫标准正交组，当且仅当 $\langle v_i, v_j \rangle = \delta_{ij}$ ；
$\{v_i\}$ 是标准正交基，当且仅当它既是一组基又是标准正交组。

勾股定理： $u \perp v \implies \|u + v\|^{2} = \|u\|^{2} + \|v\|^{2}$ 。

说明

⭐ 标准正交基的最大好处是坐标就是内积：若 $(e_1, \ldots, e_n)$ 标准正交，则

v = \sum_{i=1}^{n} \langle e_i, v \rangle\, e_i, \qquad \|v\|^{2} = \sum_{i=1}^{n} |\langle e_i, v \rangle|^{2}

（第二条是 Parseval 等式。）一般基要解线性方程组才能求坐标，标准正交基只要算 $n$ 个内积 —— 这就是 Gram–Schmidt 值得做的理由。

⚠ 标准正交组与标准正交「基」不同：前者只要求正交归一，不要求张成整个空间。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Gram–Schmidt 正交化推出

正交性的定义 $\implies$ Gram–Schmidt
对 $j$ 归纳。 $j = 1$ 时取 $e_1 := v_1 / \|v_1\|$ （ $v_1 \ne 0$ ，因为线性无关）。
归纳步：设已作出标准正交组 $e_1, \ldots, e_{j-1}$ ，且它们张成 $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_{j-1})$ 。令
$w_j := v_j - \sum_{i=1}^{j-1} \langle e_i, v_j \rangle\, e_i, \qquad e_j := \frac{w_j}{\|w_j\|}$
1. $\langle e_k, w_j\rangle = 0$ （ $k < j$ ）：由 $\langle e_k, e_i\rangle = \delta_{ki}$ 逐个消掉。
2. $w_j \ne 0$ ：否则 $v_j \in \operatorname{span}(e_1, \ldots, e_{j-1}) = \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_{j-1})$ ，与线性无关矛盾。
3. 于是 $e_j$ 与前面的都正交，且 $\|e_j\| = 1$ 。
4. 张成不变： $v_j \in \operatorname{span}(e_1, \ldots, e_j)$ 与 $e_j \in \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_j)$ 互相给出，故两个张成相等。∎
有限维时对整组基做一遍，就得到标准正交基。
第 1 步「逐个消掉」正是把 $v_j$ 减去它在每个已有方向上的分量 —— 这就是「正交化」这个词的字面意思。第 2 步用线性无关保证不会归零。

定义引用 1

正交补用到本页定义引用

正交补是「与 $U$ 全体的正交向量之集」，所以要先有正交。

谁指向它（入边）

定义引用 1

内积 → 本页定义引用

正交就是「内积为零」——定义里只用到内积这一个词。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 8

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