诱导范数与距离

由内积诱导的范数与距离

定义
依赖深度 layer 14
抽象代数
分析学
内积空间与正交性

def.induced-norm · 定义 · 线性代数 · 内积

陈述

设 $(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ 是内积空间。定义

\|v\| := \sqrt{\langle v, v \rangle}, \qquad d(u, v) := \|u - v\|

则 $\|\cdot\|$ 是 $V$ 上的范数（正定、齐次、三角不等式）， $d$ 是距离，并且

\|v\| = 0 \iff v = 0, \qquad \|cv\| = |c|\,\|v\|, \qquad \|u + v\| \le \|u\| + \|v\|

（三角不等式来自 Cauchy–Schwarz。）

说明

⭐ 于是内积空间自动是度量空间，可以谈收敛、完备、紧 —— 分析那一侧的全部工具都能进来。完备的内积空间叫 Hilbert 空间。

⭐ 反过来：范数未必来自内积。判据是平行四边形律

\|u + v\|^{2} + \|u - v\|^{2} = 2\|u\|^{2} + 2\|v\|^{2}

（ $\ell^{p}$ 在 $p \ne 2$ 时不满足它，所以 $\ell^{p}$ 上的范数不来自任何内积 —— 这也是「 $L^{2}$ 特别」的原因。）

⭐ 由内积恢复内积的公式是极化恒等式： $\langle u, v\rangle = \frac{1}{4}\bigl( \|u+v\|^{2} - \|u-v\|^{2} \bigr)$ （实情形）。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Cauchy–Schwarz推出

内积的正定性 $\implies$ Cauchy–Schwarz

若 $v = 0$ 结论平凡。设 $v \ne 0$ ，对一切 $t \in K$ 有
$0 \le \|u - t v\|^{2} = \|u\|^{2} - \bar{t}\langle u, v\rangle - t\,\overline{\langle u, v\rangle} + |t|^{2}\|v\|^{2}$
取 $t := \dfrac{\langle v, u \rangle}{\|v\|^{2}}$ （则 $\bar t = \overline{\langle v,u\rangle}/\|v\|^{2} = \langle u, v\rangle/\|v\|^{2}$ ），代入整理得
$0 \le \|u\|^{2} - \frac{|\langle u, v\rangle|^{2}}{\|v\|^{2}} \quad\Longrightarrow\quad |\langle u, v\rangle|^{2} \le \|u\|^{2}\|v\|^{2}$
开方即得结论。
等号条件： $\|u - tv\|^{2} = 0 \iff u = tv$ ，即线性相关。∎
由此也得三角不等式： $\|u+v\|^{2} = \|u\|^{2} + 2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle + \|v\|^{2} \le \|u\|^{2} + 2\|u\|\|v\| + \|v\|^{2} = (\|u\|+\|v\|)^{2}$ 。

证明的关键是「对一切 $t$ 都非负」：这给了一个关于 $t$ 的二次函数恒非负，于是它的判别式 $\le 0$ —— 这正是 Cauchy–Schwarz。

谁指向它（入边）

定义引用 2

内积 → 本页定义引用

范数定义为 $\sqrt{\langle v, v\rangle}$ ，合法性来自内积的正定性。
距离空间 → 本页定义引用

内积空间的范数给出距离 $d(u,v) = \|u - v\|$ ，于是它自动是度量空间，分析那一侧的工具都能用。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 8

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