等距与正交变换

等距、正交变换与酉变换（Isometry）

def.isometry · 定义 · 线性代数 · 内积

陈述

线性映射 $T : V \to V$ 叫等距，当且仅当它保持内积（等价地保持范数）：

\langle Tv, Tw \rangle = \langle v, w \rangle \quad (\forall v, w) \qquad \iff \qquad \|Tv\| = \|v\| \quad (\forall v)

实数情形称正交变换，复数情形称酉变换；它们的矩阵分别叫正交矩阵（ $Q^{\mathsf{T}}Q = I$ ）与酉矩阵（ $U^{\dagger}U = I$ ）。

等距的等价刻画： $T^{\ast}T = I$ （ $\iff T$ 可逆且 $T^{\ast} = T^{-1}$ ）。全体正交（酉）变换构成群 $O(n)$ （ $U(n)$ ）。

⭐ 等距保持全部几何：长度、角度、正交性、体积（ $|\det| = 1$ ）。所以「两个图形全等」在代数上就是「差一个正交变换」。

⭐ $O(n)$ 是紧李群（有界闭）， $SO(n) := \{Q : \det Q = 1\}$ 是它的连通分支（含单位元的那个）—— 旋转群。

⚠ 「保持范数 $\implies$ 保持内积」的推导用极化恒等式：内积可以由范数恢复（ $\langle u,v\rangle = \frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3} i^{k}\|u + i^{k}v\|^{2}$ ）—— 这也是「范数未必来自内积」那一节的另一半。