Sylvester 判据

谁指向它（入边）

推出 1

• 二次型、谱定理（实对称） ⟹ 本页推出
  谱定理 $\implies$ Sylvester 判据

  设 $A$ 实对称。

  ($\Longleftarrow$) 设所有顺序主子式 $D_k > 0$。对 $k$ 归纳证明 $A$ 的前 $k$ 阶主子矩阵正定：$k = 1$ 显然（$a_{11} = D_1 > 0$）。归纳步：把 $A_k$ 分块 $\begin{pmatrix} A_{k-1} & b \\ b^{\mathsf{T}} & a_{kk}\end{pmatrix}$，由 $D_{k} = D_{k-1}\cdot(a_{kk} - b^{\mathsf{T}}A_{k-1}^{-1}b) > 0$（分块行列式公式）与归纳假设 $D_{k-1} > 0$ 得 Schur 补 $a_{kk} - b^{\mathsf{T}}A_{k-1}^{-1}b > 0$；由 Schur 补正定 $\implies A_k$ 正定。

  ($\implies$) 若 $A$ 正定，则每个左上角主子矩阵 $A_k$ 也正定（对 $A_k$ 上的 $x$ 补零得 $x^{\mathsf{T}}A_kx = \tilde x^{\mathsf{T}}A\tilde x > 0$）。由谱定理 $A_k = Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}$（$\Lambda$ 对角且对角元 $> 0$），故 $D_k = \det A_k = \prod_i \lambda_i > 0$。∎

  两个方向的分量不同：($\Longleftarrow$) 是归纳 + Schur 补（纯代数），($\implies$) 用的是谱定理（特征值全正 $\implies$ 行列式为正）。

定义引用 1

• 二次型 → 本页定义引用

  Sylvester 判据判的是二次型的正定性，用的是它的系数矩阵。