二次型

二次型与正定性（Quadratic Form）

定义
依赖深度 layer 11
抽象代数
内积空间与正交性

def.quadratic-form · 定义 · 线性代数 · 内积

陈述

设 $A \in M_n(\mathbb{R})$ 对称。由它给出的函数

q(x) := x^{\mathsf{T}} A\, x = \sum_{i, j} a_{ij}\, x_i x_j \in \mathbb{R}, \qquad x \in \mathbb{R}^{n}

叫二次型（它是 $x$ 的二次齐次函数）。称 $q$ （或 $A$ ）：

正定： $x \ne 0 \implies q(x) > 0$ ；
半正定： $x \ne 0 \implies q(x) \ge 0$ ；
负定 / 不定同理定义。

由谱定理， $q$ 正定 $\iff$ $A$ 的所有特征值为正 $\iff$ 存在可逆 $P$ 使 $A = P^{\mathsf{T}}P$ （即 $A$ 与正定矩阵合同）。

说明

⭐ 二次型是「内积」的放宽版：内积要求正定，二次型允许不定（甚至退化）。所以内积空间的一切几何结论在二次型里都要重新检查（「长度」可以是负的）。

⭐ 正定二次型与内积一一对应（ $\langle u, v\rangle := u^{\mathsf{T}}Av$ ），而每个内积空间都可以通过 Gram–Schmidt 变成标准欧氏空间 —— 这就是「正定 $\implies$ 可由 $P^{\mathsf{T}}P$ 实现」的含义。

⭐ 不定二次型出现在相对论（Minkowski 度规）、Morse 理论（Hessian 的负惯性指数 = 临界点类型）里。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Sylvester 判据推出

谱定理 $\implies$ Sylvester 判据

设 $A$ 实对称。
( $\Longleftarrow$ ) 设所有顺序主子式 $D_k > 0$ 。对 $k$ 归纳证明 $A$ 的前 $k$ 阶主子矩阵正定： $k = 1$ 显然（ $a_{11} = D_1 > 0$ ）。归纳步：把 $A_k$ 分块 $\begin{pmatrix} A_{k-1} & b \\ b^{\mathsf{T}} & a_{kk}\end{pmatrix}$ ，由 $D_{k} = D_{k-1}\cdot(a_{kk} - b^{\mathsf{T}}A_{k-1}^{-1}b) > 0$ （分块行列式公式）与归纳假设 $D_{k-1} > 0$ 得 Schur 补 $a_{kk} - b^{\mathsf{T}}A_{k-1}^{-1}b > 0$ ；由 Schur 补正定 $\implies A_k$ 正定。
( $\implies$ ) 若 $A$ 正定，则每个左上角主子矩阵 $A_k$ 也正定（对 $A_k$ 上的 $x$ 补零得 $x^{\mathsf{T}}A_kx = \tilde x^{\mathsf{T}}A\tilde x > 0$ ）。由谱定理 $A_k = Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}$ （ $\Lambda$ 对角且对角元 $> 0$ ），故 $D_k = \det A_k = \prod_i \lambda_i > 0$ 。∎

两个方向的分量不同：( $\Longleftarrow$ ) 是归纳 + Schur 补（纯代数），( $\implies$ ) 用的是谱定理（特征值全正 $\implies$ 行列式为正）。

定义引用 1

Sylvester 判据用到本页定义引用

Sylvester 判据判的是二次型的正定性，用的是它的系数矩阵。

谁指向它（入边）

定义引用 1

双线性型 → 本页定义引用

对称双线性型 $B$ 与二次型 $q$ 由极化恒等式互相确定（ $2B(u, v) = q(u + v) - q(u) - q(v)$ ），所以二次型是「对称双线性型的对角化写法」。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 8
Roman, Advanced Linear Algebra, Ch. 11

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