正交补

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 谱定理（实对称）推出
  自伴性 + 紧性 $\implies$ 谱定理（实对称）

  设 $T$ 是有限维实内积空间上的自伴算子。

  1. 存在实特征值：单位球面 $S := \{v : \|v\| = 1\}$ 是紧集，函数 $f(v) := \langle Tv, v\rangle$ 连续，故在某点 $v_0$ 取到最大值 $\lambda$（最值定理）。用 Lagrange 乘子（或直接对 $v_0$ 附近扰动求导）可得 $Tv_0 = \lambda v_0$：即在约束 $\|v\|^{2} = 1$ 下 $f$ 的极值点满足 $\nabla f = \lambda \nabla(\|v\|^{2})$，而两个梯度分别是 $2Tv_0$ 与 $2v_0$。于是 $\lambda$ 是特征值，且由 $\lambda = \langle Tv_0, v_0\rangle \in \mathbb{R}$ 知它是实数。
  2. 特征子空间的不变性：$U := E_\lambda$ 是 $T$-不变的；由自伴性，$U^{\perp}$ 也是 $T$-不变的：若 $w \perp U$，则对 $u \in U$，$\langle u, Tw\rangle = \langle Tu, w\rangle = \langle \lambda u, w\rangle = \lambda\langle u, w\rangle = 0$，即 $Tw \perp U$。
  3. 归纳：$T|_{U^{\perp}}$ 仍自伴，对 $\dim U^{\perp} < \dim V$ 用归纳假设，得 $U^{\perp} = E_{\lambda_2}\oplus\cdots$（两两正交）。于是 $V = E_{\lambda} \oplus U^{\perp}$ 是所有特征子空间的正交直和。
  4. 在每个 $E_{\lambda_i}$ 里取标准正交基（Gram–Schmidt），拼起来就是 $V$ 的标准正交基，$T$ 在其中是对角阵。∎

  第 1 步是分析输入（紧集上连续函数取最值），第 2 步是自伴性唯一被用到的地方。这也解释了为什么谱定理在实情形必须要求对称：没有自伴性，$U^{\perp}$ 不必不变，归纳断掉。

定义引用 1

• 正交投影 用到 本页定义引用

  投影的定义用到了直和分解 $V = U \oplus U^{\perp}$，也就是正交补。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 正交 → 本页定义引用

  正交补是「与 $U$ 全体的正交向量之集」，所以要先有正交。