Cauchy–Schwarz

谁指向它（入边）

推出 1

• 内积、诱导范数与距离 ⟹ 本页推出
  内积的正定性 $\implies$ Cauchy–Schwarz

  若 $v = 0$ 结论平凡。设 $v \ne 0$，对一切 $t \in K$ 有

  $$0 \le \|u - t v\|^{2} = \|u\|^{2} - \bar{t}\langle u, v\rangle - t\,\overline{\langle u, v\rangle} + |t|^{2}\|v\|^{2}$$

  取 $t := \dfrac{\langle v, u \rangle}{\|v\|^{2}}$（则 $\bar t = \overline{\langle v,u\rangle}/\|v\|^{2} = \langle u, v\rangle/\|v\|^{2}$），代入整理得

  $$0 \le \|u\|^{2} - \frac{|\langle u, v\rangle|^{2}}{\|v\|^{2}} \quad\Longrightarrow\quad |\langle u, v\rangle|^{2} \le \|u\|^{2}\|v\|^{2}$$

  开方即得结论。

  等号条件：$\|u - tv\|^{2} = 0 \iff u = tv$，即线性相关。∎

  由此也得三角不等式：$\|u+v\|^{2} = \|u\|^{2} + 2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle + \|v\|^{2} \le \|u\|^{2} + 2\|u\|\|v\| + \|v\|^{2} = (\|u\|+\|v\|)^{2}$。

  证明的关键是「对一切 $t$ 都非负」：这给了一个关于 $t$ 的二次函数恒非负，于是它的判别式 $\le 0$ —— 这正是 Cauchy–Schwarz。