正交投影

正交投影（Orthogonal Projection）

定义
依赖深度 layer 12
抽象代数
内积空间与正交性

def.orthogonal-projection · 定义 · 线性代数 · 内积

陈述

设 $U \subseteq V$ 是有限维子空间， $V = U \oplus U^{\perp}$ 。对 $v \in V$ 唯一地写 $v = u + w$ （ $u \in U$ 、 $w \in U^{\perp}$ ），定义

P_U(v) := u

$P_U : V \to V$ 叫正交投影（或正交投影算子）。它的性质：

$P_U$ 线性， $P_U^{2} = P_U$ （幂等）， $\ker P_U = U^{\perp}$ 、 $\operatorname{im} P_U = U$ ；
$P_U$ 是自伴的： $\langle P_U u, v \rangle = \langle u, P_U v \rangle$ （见「伴随算子」）；
$v - P_U v \perp U$ 。

说明

⭐ 一句话：正交投影 = 幂等 + 自伴。反过来，任何幂等且自伴的算子都是某个子空间的正交投影 —— 这条「算子语言」的刻画后面在谱定理里直接变成「特征值只有 $0, 1$ 的自伴算子」。

⭐ 幂等但不自伴的算子叫射影（projection）：它是「沿 $\ker P$ 平行地投到 $\operatorname{im} P$ 」，一般不是正交投影。两者的区别就是「最短距离」有没有被取到。

它指向谁（出边）

推出 2

本页 ⟹ Gram–Schmidt 正交化推出

正交性的定义 $\implies$ Gram–Schmidt
对 $j$ 归纳。 $j = 1$ 时取 $e_1 := v_1 / \|v_1\|$ （ $v_1 \ne 0$ ，因为线性无关）。
归纳步：设已作出标准正交组 $e_1, \ldots, e_{j-1}$ ，且它们张成 $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_{j-1})$ 。令
$w_j := v_j - \sum_{i=1}^{j-1} \langle e_i, v_j \rangle\, e_i, \qquad e_j := \frac{w_j}{\|w_j\|}$
1. $\langle e_k, w_j\rangle = 0$ （ $k < j$ ）：由 $\langle e_k, e_i\rangle = \delta_{ki}$ 逐个消掉。
2. $w_j \ne 0$ ：否则 $v_j \in \operatorname{span}(e_1, \ldots, e_{j-1}) = \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_{j-1})$ ，与线性无关矛盾。
3. 于是 $e_j$ 与前面的都正交，且 $\|e_j\| = 1$ 。
4. 张成不变： $v_j \in \operatorname{span}(e_1, \ldots, e_j)$ 与 $e_j \in \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_j)$ 互相给出，故两个张成相等。∎
有限维时对整组基做一遍，就得到标准正交基。
第 1 步「逐个消掉」正是把 $v_j$ 减去它在每个已有方向上的分量 —— 这就是「正交化」这个词的字面意思。第 2 步用线性无关保证不会归零。
本页 ⟹ 最佳逼近与投影公式推出

正交投影 + 标准正交基 $\implies$ 最佳逼近与显式公式

显式公式：设 $(e_1, \ldots, e_k)$ 是 $U$ 的标准正交基，令 $u := \sum_i \langle e_i, v\rangle e_i \in U$ 。则对每个 $j$ ，
$\langle e_j, v - u\rangle = \langle e_j, v\rangle - \sum_i \langle e_i, v\rangle\,\langle e_j, e_i\rangle = \langle e_j, v\rangle - \langle e_j, v\rangle = 0$
故 $v - u \perp U$ ，即 $u = P_U v$ 。
最佳逼近：对任意 $u' \in U$ ，由 $v - P_U v \perp U$ 与 $P_U v - u' \in U$ 得（勾股定理）
$\|v - u'\|^{2} = \|v - P_U v\|^{2} + \|P_U v - u'\|^{2} \ge \|v - P_U v\|^{2}$
等号仅当 $P_U v = u'$ 。
Bessel：把 $v = P_U v + (v - P_U v)$ 用勾股定理，并注意 $\|P_U v\|^{2} = \sum_i |\langle e_i, v\rangle|^{2}$ （对标准正交组合直接展开）。∎

证明里「 $v - P_Uv \perp U$ 且 $P_Uv - u' \in U$ 」这两条是勾股定理能用的全部理由 —— 也是「正交投影」比一般射影好的地方。

谁指向它（入边）

定义引用 1

正交补 → 本页定义引用

投影的定义用到了直和分解 $V = U \oplus U^{\perp}$ ，也就是正交补。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 8

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