最值定理

最值定理（Extreme Value Theorem）

定理
依赖深度 layer 19
分析学
拓扑学
连续与紧性

thm.evt · 定理 · 连续 · 紧

陈述

设 $X$ 是紧度量空间， $f : X \to \mathbb{R}$ 连续。则 $f$ 取到最大值与最小值：存在 $x_{\min}, x_{\max} \in X$ ，使对一切 $x \in X$ 有

f(x_{\min}) \le f(x) \le f(x_{\max})

说明

⭐ 「有界」与「取到最值」是两件事，这也是图上把它们分成两个节点的原因：有界只说明 $\sup f(X)$ 是有限的，取到最值说明这个上确界被某个点实打实地达到。紧性负责后者。

⚠ 换成开区间立刻失败： $f(x) = x$ 在 $(0, 1)$ 上有界，却既取不到最大值也取不到最小值。

⭐ 在 $\mathbb{R}$ 上的常用形式：闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数取到最值 —— 证明的第一步是「闭区间紧」（Heine–Borel）。初等微积分里求极值的整套流程（找驻点 + 比端点）就建立在这条上。

它指向谁（出边）

推出 5

本页 ⟹ 代数基本定理推出

最值定理 + 介值定理 + 因式定理 $\implies$ 代数基本定理
设 $p(z) = a_n z^{n} + \cdots + a_0$ ， $n \ge 1$ ， $a_n \ne 0$ 。
1. 在某个闭圆盘上取到最小模：由 $|p(z)| \ge |a_n||z|^{n} - \sum_{k < n} |a_k||z|^{k}$ ，当 $|z| \to \infty$ 时 $|p(z)| \to +\infty$ ；特别地存在 $R$ 使 $|z| > R$ 时 $|p(z)| > |p(0)|$ 。于是 $z \mapsto |p(z)|$ 在紧集 $\{|z| \le R\}$ 上取到最小值（最值定理，用到 $\mathbb{R}$ 的完备性 + 紧性），而它在盘外不可能更小。记最小值点为 $z_0$ ， $m := |p(z_0)|$ 。
2. 若 $m > 0$ 则矛盾：记 $w := z - z_0$ ，把 $p$ 在 $z_0$ 处展开成 $w$ 的多项式：
$p(z_0 + w) = p(z_0) + c_k w^{k} + O(w^{k+1}), \qquad c_k \ne 0, \ k \ge 1$
（ $k$ 是第一个非零项的阶。）取 $w = t\,\zeta$ ，其中 $\zeta^{k} = -p(z_0)/c_k$ 的一个 $k$ 次方根、 $t > 0$ 很小。由复数开 $k$ 次方，这样的 $\zeta$ 总存在。则
$|p(z_0 + t\zeta)|^{2} = |p(z_0)|^{2}\Bigl( 1 - \frac{2t^{k}}{|p(z_0)|} + O(t^{k+1}) \Bigr) < |p(z_0)|^{2}$
对充分小的 $t$ 成立，与 $z_0$ 的最小性矛盾。
1. 故 $m = 0$ ，即 $p(z_0) = 0$ ： $p$ 有根。
2. 归纳得完全分解：由因式定理 $p = (z - z_0) p_1$ ， $\deg p_1 = n - 1$ ，对 $p_1$ 重复第 1–3 步， $n$ 步之后 $p$ 分解成 $n$ 个一次因子之积（常数因子提到最前）。
3. 唯一性：由 $K[x]$ 是唯一分解整环（同一次序与常数因子之外唯一），也由「根的个数不超过次数」直接得到。∎
整个证明里分析用在哪：第 1 步（紧集上连续函数取最小）与第 2 步的 $O(t^{k+1})$ 估计。代数只负责第 4、5 步。这也解释了它为什么既不是纯代数定理、又比一般的分析定理「硬」。
本页 ⟹ 谱定理（实对称）推出

自伴性 + 紧性 $\implies$ 谱定理（实对称）
设 $T$ 是有限维实内积空间上的自伴算子。
1. 存在实特征值：单位球面 $S := \{v : \|v\| = 1\}$ 是紧集，函数 $f(v) := \langle Tv, v\rangle$ 连续，故在某点 $v_0$ 取到最大值 $\lambda$ （最值定理）。用 Lagrange 乘子（或直接对 $v_0$ 附近扰动求导）可得 $Tv_0 = \lambda v_0$ ：即在约束 $\|v\|^{2} = 1$ 下 $f$ 的极值点满足 $\nabla f = \lambda \nabla(\|v\|^{2})$ ，而两个梯度分别是 $2Tv_0$ 与 $2v_0$ 。于是 $\lambda$ 是特征值，且由 $\lambda = \langle Tv_0, v_0\rangle \in \mathbb{R}$ 知它是实数。
2. 特征子空间的不变性： $U := E_\lambda$ 是 $T$ -不变的；由自伴性， $U^{\perp}$ 也是 $T$ -不变的：若 $w \perp U$ ，则对 $u \in U$ ， $\langle u, Tw\rangle = \langle Tu, w\rangle = \langle \lambda u, w\rangle = \lambda\langle u, w\rangle = 0$ ，即 $Tw \perp U$ 。
3. 归纳： $T|_{U^{\perp}}$ 仍自伴，对 $\dim U^{\perp} < \dim V$ 用归纳假设，得 $U^{\perp} = E_{\lambda_2}\oplus\cdots$ （两两正交）。于是 $V = E_{\lambda} \oplus U^{\perp}$ 是所有特征子空间的正交直和。
4. 在每个 $E_{\lambda_i}$ 里取标准正交基（Gram–Schmidt），拼起来就是 $V$ 的标准正交基， $T$ 在其中是对角阵。∎
第 1 步是分析输入（紧集上连续函数取最值），第 2 步是自伴性唯一被用到的地方。这也解释了为什么谱定理在实情形必须要求对称：没有自伴性， $U^{\perp}$ 不必不变，归纳断掉。
本页 ⟹ Rolle 中值定理推出

Fermat 引理 + 最值定理 $\implies$ Rolle 中值定理
设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续、在 $(a, b)$ 内可导、 $f(a) = f(b)$ 。
1. 由最值定理， $f$ 在 $[a, b]$ 上取到最大值 $M$ 与最小值 $m$ 。
2. 若 $M = m$ ，则 $f$ 是常数，于是 $(a, b)$ 内任取 $\xi$ 都有 $f'(\xi) = 0$ 。
3. 否则 $M > m$ 。因为 $f(a) = f(b)$ ，两个数 $M, m$ 中至少有一个不等于 $f(a)$ ，所以它在 $(a, b)$ 内的某点 $\xi$ 处被取到 —— 这个 $\xi$ 是内点极值点。
4. 由 Fermat 引理， $f'(\xi) = 0$ 。∎
第 3 步是全部技巧所在：「两端相等」保证最值不能在两个端点同时取到，于是必有一个最值被内点取到 —— 紧性（由最值定理提供）与可导性（由 Fermat 引理使用）就在这一点上汇合。
本页 ⟹ 哪些函数可积推出

振幅判据 + 一致连续 $\implies$ 可积性三例

① 连续 $\implies$ 可积。 设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，令 $M := \sup |f|$ 。由 Cantor 定理， $f$ 在 $[a, b]$ 上一致连续：对 $\varepsilon > 0$ 取 $\delta > 0$ ，使 $|x - y| < \delta$ 时 $|f(x) - f(y)| < \dfrac{\varepsilon}{b - a}$ 。
取分割 $P$ 使 $\|P\| < \delta$ ，则每段上 $\omega_i \le \dfrac{\varepsilon}{b - a}$ ，于是
$U(f, P) - L(f, P) = \sum_i \omega_i \Delta x_i \le \frac{\varepsilon}{b - a} \sum_i \Delta x_i = \varepsilon$
由振幅判据可积。
② 单调 $\implies$ 可积。 设 $f$ 递增。取等距分割 $x_i = a + i\,(b - a)/n$ ，则第 $i$ 段上 $M_i = f(x_i)$ 、 $m_i = f(x_{i-1})$ ，振幅和
$U - L = \sum_{i=1}^{n} \bigl( f(x_i) - f(x_{i-1}) \bigr)\frac{b - a}{n} = \bigl( f(b) - f(a) \bigr)\frac{b - a}{n} \xrightarrow{\;n \to \infty\;} 0$
（这是裂项：中间的 $f(x_i)$ 全部抵消。）
③ 有限个不连续点 $\implies$ 可积。 把 $[a, b]$ 分成有限段，每段内部连续、端点处或为不连续点；对每一段用 ①，再把分割在端点处接起来即可。
④ Dirichlet 函数不可积。 任取分割 $P$ ：每个小区间同时含有理数与无理数（稠密性），故 $M_i = 1$ 、 $m_i = 0$ ，振幅和 $U - L = \sum \Delta x_i = b - a$ 与 $P$ 无关，永远不小于 $\varepsilon = b - a$ 。由振幅判据不可积。∎

① 里用的正是「紧集上连续 $\implies$ 一致连续」—— 这是 ② 之外唯一需要紧性的地方，而 ② 靠的是单调（振幅自动沿分割点裂项）。
本页 ⟹ 积分中值定理推出

最值定理 + 保序 $\implies$ 积分中值定理
设 $f$ 连续、 $g \ge 0$ 可积（ $g \le 0$ 时取 $-g$ ）。
1. 由最值定理， $f$ 在 $[a, b]$ 上取到最小值 $m$ 与最大值 $M$ 。
2. 由 $g \ge 0$ 得 $mg \le fg \le Mg$ ；由保序性与线性性，
$m\int_a^b g \le \int_a^b fg \le M\int_a^b g$
1. 若 $\int_a^b g = 0$ ，则三式都被夹在 $0$ 上， $\int fg = 0 = f(\xi) \cdot 0$ 对任意 $\xi$ 成立。
2. 否则令
$c := \frac{\int_a^b fg}{\int_a^b g} \in [m, M]$
由介值定理，存在 $\xi \in [a, b]$ 使 $f(\xi) = c$ ，整理即得结论。∎
第 4 步用的正是介值定理 —— 中值定理家族里唯一需要「 $f$ 取遍中间值」的地方。

谁指向它（入边）

推出 1

紧集上连续 ⟹ 有界、ℝ 是完备有序域 ⟹ 本页推出

有界 + 确界原理 $\implies$ 取到最值
设 $X$ 紧、 $f : X \to \mathbb{R}$ 连续。由上一条， $f(X)$ 非空且有上界，令
$M := \sup f(X) \in \mathbb{R}$
（确界原理保证它存在）。
1. 对每个 $n \ge 1$ ， $M - 1/n$ 不是 $f(X)$ 的上界，所以存在 $x_n \in X$ 使 $f(x_n) > M - 1/n$ 。
2. $X$ 紧 $\implies$ 列紧（见「紧的三个等价刻画」），所以 $\{x_n\}$ 有子列 $x_{n_k} \to x^{*} \in X$ 。
3. $f$ 连续 $\implies$ $f(x_{n_k}) \to f(x^{$ ；另一方面由第 1 步 $f(x_{n_k}) \to M$ （夹逼： $M - 1/n_k < f(x_{n_k}) \le M$ ）。极限唯一，故 $f(x^{$ }) = M $f (x^{*}) = M$ 。
4. 于是 $f(x^{$ 对一切 $x \in X$ 成立，即 $x_{\max} = x^{$ } $x_{m a x} = x^{*}$ 。
把 $f$ 换成 $-f$ 得最小值。∎
第 3 步的两个极限必须都存在才能用「极限唯一」：左式的存在性来自连续性，右式来自 $\sup$ 的定义。紧性只在第 2 步用了一次。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 4

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