代数基本定理

谁指向它（入边）

推出 1

• 最值定理、介值定理、因式定理与根 ⟹ 本页推出
  最值定理 + 介值定理 + 因式定理 $\implies$ 代数基本定理

  设 $p(z) = a_n z^{n} + \cdots + a_0$，$n \ge 1$，$a_n \ne 0$。

  1. 在某个闭圆盘上取到最小模：由 $|p(z)| \ge |a_n||z|^{n} - \sum_{k < n} |a_k||z|^{k}$，当 $|z| \to \infty$ 时 $|p(z)| \to +\infty$；特别地存在 $R$ 使 $|z| > R$ 时 $|p(z)| > |p(0)|$。于是 $z \mapsto |p(z)|$ 在紧集 $\{|z| \le R\}$ 上取到最小值（最值定理，用到 $\mathbb{R}$ 的完备性 + 紧性），而它在盘外不可能更小。记最小值点为 $z_0$，$m := |p(z_0)|$。
  2. 若 $m > 0$ 则矛盾：记 $w := z - z_0$，把 $p$ 在 $z_0$ 处展开成 $w$ 的多项式：

  $$p(z_0 + w) = p(z_0) + c_k w^{k} + O(w^{k+1}), \qquad c_k \ne 0, \ k \ge 1$$

  （$k$ 是第一个非零项的阶。）取 $w = t\,\zeta$，其中 $\zeta^{k} = -p(z_0)/c_k$ 的一个 $k$ 次方根、$t > 0$ 很小。由复数开 $k$ 次方，这样的 $\zeta$ 总存在。则

  $$|p(z_0 + t\zeta)|^{2} = |p(z_0)|^{2}\Bigl( 1 - \frac{2t^{k}}{|p(z_0)|} + O(t^{k+1}) \Bigr) < |p(z_0)|^{2}$$

  对充分小的 $t$ 成立，与 $z_0$ 的最小性矛盾。

  1. 故 $m = 0$，即 $p(z_0) = 0$：$p$ 有根。
  2. 归纳得完全分解：由因式定理 $p = (z - z_0) p_1$，$\deg p_1 = n - 1$，对 $p_1$ 重复第 1–3 步，$n$ 步之后 $p$ 分解成 $n$ 个一次因子之积（常数因子提到最前）。
  3. 唯一性：由 $K[x]$ 是唯一分解整环（同一次序与常数因子之外唯一），也由「根的个数不超过次数」直接得到。∎

  整个证明里分析用在哪：第 1 步（紧集上连续函数取最小）与第 2 步的 $O(t^{k+1})$ 估计。代数只负责第 4、5 步。这也解释了它为什么既不是纯代数定理、又比一般的分析定理「硬」。