多项式环

多项式环 $K[x]$ （Polynomial Ring）

定义
依赖深度 layer 9
抽象代数
多项式与因式分解

def.polynomial-ring · 定义 · 代数 · 多项式 · 环

陈述

在 $K$ 上全体一元多项式构成的集合 $K[x]$ 上定义

(f + g)_i := a_i + b_i, \qquad (fg)_i := \sum_{j=0}^{i} a_j\, b_{i-j}

（加法逐项、乘法是卷积）。则 $K[x]$ 是交换含幺环，叫 $K$ 上的多项式环，而且

\deg(fg) = \deg f + \deg g \qquad (f, g \ne 0)

由此 $K[x]$ 是整环（无零因子）： $fg = 0 \implies f = 0$ 或 $g = 0$ 。

说明

⭐ $K[x]$ 是「 $K$ 上的一元多项式函子」的取值： $K \mapsto K[x]$ 与「把 $K$ 送入 $K$ -代数」之间是伴随的（自由 $K$ -代数）。图上 ex.algebra-categories 那条已经提过 $k\text{-}\mathbf{Alg}$ 。

⭐ $\deg(fg) = \deg f + \deg g$ 是整环性的全部来源：系数域的整性把次数加成，于是没有零因子。

⚠ 常数多项式（ $\deg = 0$ ）与零多项式要分开处理，所有关于次数的等式都要加「 $f, g \ne 0$ 」的前提。

它指向谁（出边）

定义引用 3

带余除法用到本页定义引用

带余除法是 $K[x]$ 里两个元素之间的运算，先要有这个环。
不可约多项式用到本页定义引用

「可约 / 不可约」是 $K[x]$ 里元素的性质，说到底是环里的因子分解问题。
特征多项式用到本页定义引用

$\det(xI - A)$ 的结果落在 $K[x]$ 里，是多项式环的元素。

谁指向它（入边）

定义引用 2

环 → 本页定义引用

$K[x]$ 是环的一个具体例子：加法逐项、乘法卷积，验证的就是环公理。
一元多项式 → 本页定义引用

$K[x]$ 的元素就是多项式，环结构写在它们上面。

参考

Lang, Algebra, Ch. IV

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